‹-- Назад
Определение первообразной и её свойства
Пусть функция
задана на некотором интервале 
. Если найдётся такая функция 
, что при всех 
имеет место равенство
называется первообразной для функции .
на всей числовой оси 
-- на интервале 
. Тогда функция 
-- это первообразная для на . Для доказательства найдём производную от :
, то -- первообразная для на . Аналогичное определение дадим и для случая, когда функция задана не на одном интервале, а на объединении нескольких непересекающихся интервалов:
первообразной для , если при всех 
выполнено равенство 
.
на объединении двух интервалов 
. Тогда функция 
-- это первообразная для на 
. Действительно, при 
Итак, -- первообразная для , если -- производная от . Например, 
-- первообразная для 
, поскольку 
; 
-- первообразная для 
, поскольку 
, и т. п. Тем самым, нахождение первообразной определяется как операция, обратная к операции вычисления производной. Найти первообразную по данной функции означает восстановить функцию по её производной.
Заметим теперь, что однозначно восстановить функцию по её производной невозможно даже в таком простом случае, когда 
. Действительно, вычисление производной любой постоянной даёт 
, так что различить, какое значение имела постоянная , по 
невозможно. Следовательно, для 
любая постоянная служит первообразной: 
, где 
-- произвольное число.
Ещё один такой пример:
и 
при 
, то и 
, и 
служат первообразными для одной и той же функции 
на интервале 
. Заметим, что 
при 
, так что 
. Точно так же, любая функция вида 
, где 
-- произвольная постоянная, служит первообразной для ; любая функция вида 
, где -- постоянная, -- это первообразная для и т. д. Очевидно, что имеет место такое общее утверждение.
-- некоторая первообразная для на интервале 
и -- произвольная постоянная. Тогда функция 
также является первообразной для на . Доказательство. Покажем, что производная от 
даёт :
. Таким образом, -- первообразная для . Итак, если -- первообразная для на , то множество всех первообразных для , во всяком случае, содержит все функции вида 
. Покажем, что никаких других функций множество всех первообразных не содержит, то есть что все первообразные для фиксированной функции отличаются от лишь постоянным на слагаемым .
-- первообразная для на и -- некоторая другая первообразная. Тогда
. Доказательство. Рассмотрим разность 
. Поскольку 
и 
, то 
. Покажем, что функция 
, такая что 
при всех , -- это постоянная. Для этого рассмотрим две произвольные точки 
и 
, принадлежащие , и к отрезку между и (пусть это 
) применим формулу конечных приращений
. (Напомним, что эта формула -- следствие из теоремы Лагранжа, которую мы рассматривали в первом семестре). Поскольку 
во всех точках , в том числе и 
, то 
. Следовательно, в произвольной точке функция принимает то же значение, что в точке , то есть 
. Для первообразной это означает, что 
при любом , то есть
и 
выполнены для функций 
и 
не на одном интервале , а на двух или больше непересекающихся интервалах 
, 
, то мы можем лишь утверждать, что, согласно доказанной теореме, 
, где постоянные 
могут быть разными для разных интервалов . С другой стороны, очевидно, что при любых функция даёт ту же производную, что и , в любой точке 
объединения интервалов. Например, поскольку 
при всех 
, где 
(то есть функция 
-- это первообразная для функции 
на каждом из непересекающихся интервалов 
области определения тангенса 
), то при любых постоянных функция , заданная на объединении всех этих интервалов равенством
при 
. Эту функцию можно назвать первообразной для 
с тем же правом, что и функцию 
. Заметим, что мы не можем утверждать, что 
в этом случае: 
-- это не постоянная, а кусочно постоянная на интервалах области определения тангенса функция. Итак, утверждение, что первообразная для имеет вид 
, нужно правильно понимать: либо имеется в виду, что при этом изменяется лишь в пределах только одного из интервалов непрерывности тангенса, либо что 
-- кусочно постоянная на объединении этих интервалов функция. Аналогично обстоит дело и в случае других функций, имеющих в качестве области определения объединение непересекающихся интервалов. Например, поскольку при всех 
имеет место равенство
первообразной для 
будет служить любая функция 
, где 
а 
и 
-- произвольные постоянные.
