mathserfer.narod.ru

Теория по высшей математике

‹-- Назад

Квадратурные формулы левых и правых прямоугольников

Самый простой метод приближённого вычисления площадей узких полосок -- заменить их площадями прямоугольников, основанием которых служит отрезок на оси , а высотой -- отрезок, задающий значение функции в одном из концов основания, то есть либо в точке , либо в точке . Тогда в первом случае площадь равняется , а во втором .

Суммируя по всем отрезкам разбиения, то есть по от до , получаем в первом случае квадратурную формулу левых прямоугольников:

а во втором случае квадратурную формулу левых прямоугольников:

Из приведённого чертежа ясно, что ошибки и , которые возникают при замене точного значения интеграла на его приближённое значение или соответственно, обладают такими свойствами:

если функция возрастает на , то , поскольку ;

если функция убывает на , то , поскольку ;

если функция возрастает на , то , поскольку ;

если функция убывает на , то , поскольку .

Таким образом, в случае монотонной функции ошибки и имеют разные знаки. Возникает желание взаимно скомпенсировать эти ошибки (хотя бы частично), взяв полусумму чисел и за приближённое значение интеграла. Получаем при этом такую квадратурную формулу:

Как мы впоследствии увидим, полученная квадратурная формула в точности совпадает с формулой трапеций. Она часто применяется на практике для вычисления интеграла благодаря своей простоте. Сами же формулы для и , из которых она возникла, на практике при=меняются чрезвычайно редко ввиду своей малой точности: ошибки и слишком значительны даже при достаточно мелких разбиениях. Гораздо большую точность обеспечивает следующий метод, применение которого ничуть не сложнее.

---