mathserfer.narod.ru

Теория по высшей математике

‹-- Назад

Дифференциалы высших порядков и их неинвариантность

Напомним, что дифференциал функции (называемый также первым дифференциалом, или дифференциалом первого порядка) задаётся формулой

Рассмотрим это выражение (при фиксированном приращении аргумента ) как функцию переменного и найдём её дифференциал :

Этот дифференциал от первого дифференциала называется вторым дифференциалом от функции , или дифференциалом второго порядка. Аналогично, дифференциал от второго дифференциала называется третьим дифференциалом; он задаётся формулой

Вообще, -й дифференциал , или дифференциал -го порядка, определяется как дифференциал от -го дифференциала (при постоянном приращении ); для него имеет место формула:

При -й дифференциал не инвариантен (в отличие от первого дифференциала), то есть выражение зависит, вообще говоря, от того, рассматривается ли переменная как независимая, либо как некоторая промежуточная функция другого переменного, например, .

Для доказательства неинвариантности дифференциалов высших порядков достаточно привести пример. Пусть и . Если  -- независимая переменная, то

Если же , то , и тогда правая часть формулы (4.16) даёт:

Однако при этом и

Как видно, получилось не то же самое, что по формуле (4.16) с учётом зависимости . Следовательно, уже второй дифференциал не обладает свойством инвариантности при замене переменной. Тем более, не инвариантны дифференциалы порядков 3 и выше.

---