‹-- Назад
Производная функции, заданной неявно
Уравнение вида 
, содержащее переменные 
и 
, иногда можно разрешить относительно и получить в явном виде зависимость 
. Например, если дано уравнение 
, то из него можно получить зависимость 
. Однако такое явное выражение через , использующее лишь элементарные функции, можно получить не из любого уравнения вида (даже если в самом уравнении участвуют лишь элементарные функции). Например, хотя уравнение
от , но выразить её из уравнения "в явном виде" не удаётся. Тем не менее, некоторую информацию об этой зависимости мы можем получить, и не выражая через . Например, в случае приведённого выше уравнения, поскольку значения 
, 
ему удовлетворяют, мы можем утверждать, что график этой зависимости проходит через точку 
плоскости 
. Покажем, как, используя уравнение , найти производную 
, не выражая через в явном виде. Для этого найдём производные левой и правой части уравнения по переменной , считая промежуточным аргументом, а потом выразим 
из получающегося равенства.
Поясним сказанное на примере.
и найдём производную левой части (производная правой части, очевидно, равна 0). Имеем: 
, оставим в левой части, а остальные перенесём направо: 
, содержащее, правда, не только , но и в правой части. Однако, несмотря на это, полученное выражение можно использовать для решения различных задач, связанных с производной. Например, можно решить такую задачу: найти для кривой, заданной уравнением , уравнения касательной и нормали, проведённых в точке . Действительно, при 
мы получаем 
, так что нам теперь известен угловой коэффициент касательной: 
. Точка касания дана условием задачи. Поэтому уравнение касательной таково: 
или 
или 
