‹-- Назад
Непрерывность функции
-- некоторая точка, и функция 
определена в некоторой окрестности точки 
. Назовём функцию непрерывной в точке , если существует предел функции при 
, и этот предел равен значению функции в точке :
Пусть теперь определена на некотором множестве 
, и 
. Будем называть функцию непрерывной в точке изнутри множества , если существует предел при 
, равный значению функции в точке :
Если функция рассматривается в открытой области , то мы будем называть непрерывной в области , если 
непрерывна в каждой точке . Если же область замкнутая, то непрерывна в , если она непрерывна во всех внутренних точках и непрерывна изнутри во всех граничных точках 
.
Далее мы для краткости будем пропускать слова "изнутри области ", и говорить о непрерывности функции в точке безотносительно к тому, внутренняя ли это точка области или граничная.
Простейшие свойства непрерывных функций нескольких переменных следуют из общих свойств пределов точно так же, как для функций одного переменного. А именно, имеет место следующая теорема:
и 
определены в некоторой области . Тогда если обе они непрерывны в точке , то: 1) функция 
непрерывна в точке ;
2) функция 
непрерывна в точке ;
3) функция 
непрерывна в точке ;
4) если 
, то функция 
непрерывна в точке .
Пусть 
-- область в пространстве 
, и в заданы 
функций 
, 
, 
. Предположим, что все значения вектор-функции 
принадлежат некоторой области 
, в которой определена функция . Тогда имеет смысл композиция 
функции и вектор-функции 
:
непрерывны в области , а функция непрерывна в области , то композиция непрерывна в области . Доказательство. Пусть 
. Возьмём произвольное число 
. Непрерывность функции означает, что в некоторой шаровой окрестности 
(или, если , в 
) выполнено неравенство 
Однако в шаровой окрестности содержится кубическая окрестность
Осталось выбрать такую шаровую окрестность
, где 
, чтобы неравенства 
были выполнены при
(или 
, если 
) и всех . (В случае граничной точки условие принаждежности точки 
области выполнено по предположению.) Из непрерывности функции следует, что существует некоторая окрестность 
, где 
, в которой выполняется неравенство (7.1). Если теперь взять 
, то при 
из шаровой окрестности 
неравенства (7.1) будут выполнены при всех . (Разумеется, мы берём при этом точки , если точка 
-- граничная.) Таким образом, при точка 
лежит в кубической окрестности 
точки 
. Но 
. Значит, при всех выполняется неравенство
в точке .
Доказанные теоремы позволяют утверждать, что все элементарные функции многих переменных, полученные в результате применения арифметических действий и композиций к элементарным функциям переменных 
, будут непрерывными во всех точках своих областей определения.
непрерывна функция двух переменных
