mathserfer.narod.ru

Теория по высшей математике

‹-- Назад

Метод секущих

В качестве функции берут любую постоянную , знак которой совпадает со знаком производной в окрестности (и, в частности, на отрезке, соединяющем и ). Постоянная не зависит также и от номера шага . Тогда формула итераций оказывается очень проста:

и на каждой итерации нужно один раз вычислить значение функции .

Выясним смысл этой формулы, а также смысл условия о совпадении знаков и . Рассмотрим прямую, проходящую через точку на графике с угловым коэффициентом . Тогда уравнением этой прямой будет

Найдём точку пересечения этой прямой с осью из уравнения

откуда . Следовательно, эта прямая пересекает ось как раз в точке следующего приближения. Тем самым получаем следующую геометрическую интерпретацию последовательных приближений. Начиная с точки , через соответствующие точки графика проводятся секущие с угловым коэффициентом того же знака, что производная . (Заметим, что, во-первых, значение производной вычислять не обязательно, достаточно лишь знать, убывает функция или возрастает; во-вторых, что прямые, проводимые при разных , имеют один и тот же угловой коэффициент и, следовательно, параллельны друг другу.) В качестве следующего приближения к корню берётся точка пересечения построенной прямой с осью .

На чертеже слева изображены итерации при , в случае и в случае . Мы видим, что в первом случае меняющаяся точка уже на первом шаге "перепрыгивает" по другую сторону от корня , и итерации начинают приближаться к корню с другой стороны. Во втором случае последовательные точки приближаются к корню, оставаясь всё время с одной стороны от него. (Исследуйте сами, как выглядит процесс в случае , то есть когда функция убывает.)

Достаточное условие сходимости, которое нам даёт теорема 9.3, таково:

Это неравенство можно записать в виде

откуда получаем, что сходимость гарантируется, когда, во-первых,

так как (тем самым проясняется смысл выбора знака числа ), а во-вторых, когда при всех на всём рассматриваемом отрезке, окружающем корень. Это второе неравенство заведомо выполнено, если

где . Таким образом, угловой коэффициент не должен быть слишком мал по абсолютной величине: при малом угловом коэффициенте уже на первом шаге точка может выскочить из рассматриваемой окрестности корня , и сходимость итераций к корню может быть нарушена.

---