‹-- Назад
Метод Ньютона (метод касательных)
Рассмотрение предыдущего метода позволяет предположить, что итерации станут приближаться к корню ещё быстрее, если мы будем выбирать касательную вместо секущей не только на первом, а на каждом шаге. Ясно, что тогда формула итераций будет иметь вид
(сравните с формулой метода одной касательной). Этот метод называется методом касательных, или методом Ньютона. Действительно, последовательные приближения метода Ньютона сходятся гораздо быстрее, чем в общем методе итераций (скорость сходимости приближений в котором, напомним, та же, что у геометрической прогрессии со знаменателем
при 
). Поскольку для метода Ньютона
получаем 
, так как 
. Тем самым, в этом методе график 
пересекает прямую 
в точности по горизонтали, что приводит к очень быстрой сходимости итераций к . Именно, имеет место оценка 
где
-- некоторая постоянная (не зависящая от 
). Если начальное приближение 
взято достаточно близко от корня , то можно взять 
. Заметим, что по сравнению с общей оценкой метода итераций
заменяется в оценке метода Ньютона (9.2) на стремящуюся к 0 величину 
; отсюда и высокая скорость сходимости. Доказательство оценки (9.2) можно найти в учебниках, специально посвящённых численным методам, например, [Амосов А. А., Дубинский Ю. А., Копченова Н. В. Вычислительные методы для инженеров. -- М.: Высш. шк., 1994], [Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. -- М.: Наука, 1987], [Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. -- М.: Наука, 1986].
Скорость сходимости итераций, которая задаётся формулой (9.2), называется квадратичной. Квадратичная скорость сходимости означает, примерно говоря, что число верных знаков в приближённом значении 
удваивается с каждой итерацией. Действительно, если 
, и 
, то 
. Это и означает, что число верных знаков при переходе к следующему приближению возросло с 
до 
, то есть удвоилось.
Геометрический смысл метода Ньютона состоит в том, что на каждом шаге мы строим касательную к графику 
в точке очередного последовательного приближения , а за следующее приближение 
берём точку пересечения этой касательной с осью 
. Тем самым наклон прямой подстраивается на каждом шаге наилучшим образом (ведь кривизну графика, связанную с второй производной, мы не учитываем, и поэтому неизвестно, в какую сторону от касательной отклонится график).
Заметим, что по-другому идею метода Ньютона мы можем описать так: на каждом шаге вместо исходного уравнения 
мы решаем приближённое, линеаризованное в точке уравнение
в точке , то есть линейная функция 
служит следующее приближение , в то время как решением исходного точного уравнения служит искомый корень . Идея замены точной (но сложной) задачи последовательностью более простых линеаризованных задач весьма продуктивна в приближённых методах; например, такая идея даёт эффективный способ решения многомерных задач с ограничениями (метод Франка - Вулфа в нелинейном программировании, см., например, [Киселёв В.Ю., Экономико-математические методы и модели. -- Иваново: изд. ИГЭУ, 1998]).
, взяв в качестве начального приближения 
и задав точность 
(ту же, что была взята при решении этого уравнения методом одной касательной). Поскольку 
, то итерационная формула метода Ньютона будет такой: 
с точностью 
. Как мы видим, значение корня с нужной нам точностью было получено уже на третьем шаге. (Четвёртый шаг понадобился для того, чтобы можно было убедиться, что с нужной нам точностью значение перестало изменяться.)
. (Заметим, что итерационную формулу при этом менять не надо, в отличие от метода одной касательной.) Сколько потребуется итераций для достижения той же точности? Обратите внимание на то, что сначала приближения (
и 
) окажутся даже вне отрезка 
, но затем быстро сходятся к с той же стороны, что в примере. Ответ: Потребуется 6 итераций.
