mathserfer.narod.ru

Теория по высшей математике

Метод простого перебора

Будем предполагать, что искомый минимум является строгим, то есть при всех , , и других точек локального минимума на отрезке нет. Предположим также, что точка минимума  -- внутренняя точка отрезка. Зададимся точностью , с которой будем приближённо отыскивать . Приближённое значение точки минимума обозначим , то есть  -- это такое число, что

Простейший способ обнаружить точку с точностью  -- это перебирать точки отрезка с шагом , начиная с , до тех пор, пока не будет выполнено условие , то есть пока функция не начнёт возрастать после точки минимума. При этом точка может оказаться либо на отрезке , либо на отрезке (cм. следующий чертёж):

Рис.9.15.Два случая расположения точки минимума при

Если теперь положить , то в любом из двух случаев будет выполнено неравенство , то есть точка минимума будет найдена с нужной нам точностью. За приближённое значение нужно теперь взять . Дополнительного вычисления функции при этом не потребуется, поскольку значение уже было найдено ранее.

Если не предполагать, что локальный минимум на отрезке только один и что точка минимума -- внутренняя точка отрезка, то придётся изменить метод так: вычислять значения до тех пор, пока точка не достигнет правого конца отрезка -- точки ; на каждом шаге сравнивать текущее значение с минимальным из предыдущих значений , заменяя это минимальное значение на при . Наконец, вычислить (если точка не совпадает с последней из точек ) и также сравнить с минимальным из предыдущих значений. После этой процедуры будет приближённо равно , а та точка, в которой получено значение функции, равное  -- приближённым значением точки минимума .

Заметим, что метод простого перебора при поиске точки экстремума аналогичен методу простого перебора при поиске корня уравнения .