‹-- Назад
Обратная функция
Рассмотрим теперь поподробнее понятие обратной функции, введённое в начале главы. Если 
-- взаимно-однозначное отображение (биекция), то для любого 
однозначно определен такой элемент 
, что 
. Тем самым однозначно определено соответствие 
, называемое обратной функцией по отношению к функции 
. Обратная функция для обозначается 
. Таким образом,
, то есть композиция 
-- это тождественное отображение 
, 
для любого . Точно так же 
, то есть 
, 
, 
, если . Последнее утверждение означает, что функция, обратная к , равна : 
, то есть что функции и -- это две взаимно обратные функции.
-- ограничение функции 
на отрезок 
(это ограничение называется главной ветвью синуса), то отображение 
-- биекция. 
Поэтому существует обратная функция , называемая арксинусом и обозначаемая 
или 
(второе обозначение употребляется в англоязычной математической и инженерной литературе). Таким образом,
если 
и 
или 
). Это функция, обратная к ограничению функции 
на отрезок 
(такое ограничение называется главной ветвью косинуса): 
если 
и 
, или 
, или 
) -- это функция, обратная к ограничению функции 
на интервал 
, то есть обратная к главной ветви тангенса: 
-- это биекция, то обратная функция определена при всех 
: 
если 
и 
), рассмотрев главную ветвь котангенса -- ограничение функции 
на интервал 
.
а) 
и 
;
б) 
и 
.
График обратной функции получается из графика исходной функции , если у каждой точки 
графика 
поменять местами координаты 
и 
:
состоит из таких точек 
, что 
, а 
-- из таких точек 
, что 
; но, согласно определению обратной функции, равенства и эквивалентны. В случае, когда 
, 
, перестановка координат 
геометрически может быть описана как преобразование симметрии относительно прямой 
, то есть относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.
и Значит (в случае , ), графики и симметричны относительно этой биссектрисы, если ось, по которой откладываются значения аргумента функции, каждый раз размещать горизонтально.
и : 
и 
и 
и 
и
