mathserfer.narod.ru

        Определение 2.1   Предел функции при .

Пусть  -- это функция вещественного переменного , определённая во всех точках интервала , кроме, быть может, точки . Дадим определение предела величины при условии, что стремится к точке . Это условие кратко обозначается . Стремление к означает, что при своём изменении оказывается во всё более узких окрестностях, окружающих точку , но не совпадает с , то есть значение становится всё меньше и меньше, приближаясь к 0, но нулём не становится. При этом может оказаться, что соответствующие значения становятся всё ближе и ближе к некоторому фиксированному числу , причём для любой, сколь угодно малой, окрестности числа можно указать, насколько близко должен подойти к , чтобы значения уже попадали в эту окрестность числа . Тогда число есть предел функции при условии , что записывается так:

Формализуем сказанное для придания большей математической ясности. Любая окрестность точки (симметричная относительно ) характеризуется её полушириной , то есть имеет вид интервала . Если значение попало в такую -окрестность, то это означает, что . Любая окрестность точки , не содержащая самой точки (и симметричная относительно ), -- это объединение двух смежных интервалов³ . Попадание точки в эту окрестность означает, что выполнено неравенство и . Равенство означает тогда, что

для любого, сколь угодно малого, числа можно найти такое число (зависящее от ), что при будет .

При этом число называется пределом функции при условии . Тот факт, что , записывают ещё в виде

    

        Пример 2.1   Пусть и рассматривается функция . Покажем, что

Для этого фиксируем произвольное число , задающее окрестность , и выясним, при каких значения функции будут попадать в эту окрестность точки 1.

Попадание значений в окрестность означает, что выполняется неравенство , то есть . При этом нас интересуют только те решения этого неравенства, которые лежат вблизи точки . Решая неравенство, получаем, что оно выполняется при . Таким образом, если взять (это число больше 0), то при будет выполнено неравенство , что и означает, что предел равен числу 1: , или .    

        Определение 2.2   Предел последовательности при .

Пусть дана бесконечная последовательность чисел, занумерованных по порядку:

(Эту последовательность можно рассматривать как функцию , определённую при всех натуральных значениях аргумента .) Дадим определение предела последовательности при условии, что номер неограниченно растёт (это условие обозначается ). Стремление к бесконечности означает, что при своём изменении номер становится большим любого наперёд заданного числа , то есть начинает выполняться неравенство . Если при этом числа становятся всё ближе к некоторому фиксированному числу , то это число -- предел последовательности, что записывается так:

Формализуем сказанное. Множества чисел , заданные условиями , можно назвать окрестностями бесконечности. Равенство означает тогда, что

для любого, сколь угодно малого, числа можно найти такое число (зависящее от ), что при (то есть в достаточно далёкой окрестности бесконечности будет выполняться неравенство .

При этом число называется пределом последовательности при условии . Тот факт, что , записывают также в виде

    

        Пример 2.2   Покажем, что предел последовательности равен 0.

Фиксируем произвольное число и подберём число в зависимости от так, чтобы при выполнялось неравенство , то есть . Решая это неравенство, получаем, что оно выполняется при . Значит, достаточно выбрать в качестве натуральное число, ближайшее к справа на вещественной оси⁴, то есть , и тогда при любом неравенство будет верным. Это означает, что

или .    

        Определение 2.3   Предел функции при условии .

Определим окрестности бесконечности как множества точек , заданные неравенствами , то есть лучи . Потребуем, чтобы для любой, сколь угодно малой, окрестности точки можно было найти такую окрестность бесконечности , что при попадании в эту окрестность, то есть при , соответствующее значение попадает в заданную вначале окрестность точки , то есть выполняется неравенство . Выполнение этого требования будет означать, что  -- предел функции при условии , то есть

Тот факт, что , записывают ещё в виде

    

        Пример 2.3   Покажем, что предел функции при равен числу 3.

Фиксируем и подберём по этому числу такое число , что при любом выполняется неравенство

Сразу будем считать, что  -- неотрицательное число. Неравенство можно записать в виде или . Так как , то и неравенство имеет вид , откуда . Если теперь взять число равным (или равным 0, если эта разность отрицательна), то при будет выполняться неравенство ; это означает, что

или .    

        Упражнение 2.1   Опираясь на свою интуицию и здравый смысл, сформулируйте определение предела функции при условии . Для этого ответьте на предварительный вопрос: какие множества естественно назвать окрестностями ?

Пользуясь этим определением, покажите, что .    

Математика, вышка, высшая математика, математика онлайн, вышка онлайн, онлайн математика, онлайн решение математики, ход решения, процес решения, решение, задачи, задачи по математике, математические задачи, решение математики онлайн, решение математики online, online решение математики, решение высшей математики, решение высшей математики онлайн, матрицы, решение матриц онлайн, векторная алгебра онлайн, решение векторов онлайн, система линейных уравнений, метод Крамера, метод Гаусса, метод обратной матрицы, уравнения, системы уравнений, производные, пределы, интегралы, функция, неопределенный интеграл, определенный интеграл, решение интегралов, вычисление интегралов, решение производных, интегралы онлайн, производные онлайн, пределы онлайн, предел функции, предел последовательности, высшие производные, производная неявной функции