mathserfer.narod.ru

Теория по высшей математике

Замена переменного и преобразование базы при такой замене

Рассмотрим общую ситуацию. Пусть (например, для упрощения выражения) предлагается сделать некоторую замену , при этом исходный предел вычислялся при базе , состоящей из некоторых окончаний . Тогда база множеств, которым принадлежит параметр , будет состоять из образов окончаний при отображении их функцией : надо посмотреть, куда перейдёт произвольное окончание старой базы при действии функции . Получится набор множеств , где множества состоят из всех таких точек , что при некотором .

Рис.2.12.Преобразование базы под действием функции

        Теорема 2.2   Пусть  -- некоторая база и  -- некоторая функция, определённая на каком-нибудь окончании базы . Тогда множество  -- это тоже база.

        Доказательство.     Во-первых, все множества не пусты, так как не пусты множества : если , то содержит, по крайней мере, точку . Осталось показать, во-вторых, что если и (где ) -- два множества из , то найдётся такое множество ( ), что . Множество , по определению, состоит из всех точек , где и одновременно, то есть . Рассмотрим теперь некоторое окончание (такое окончание найдётся, по определению базы ) и соответствующее множество . Тогда все значения при будут среди значений при , то есть , что и требовалось показать.     

Иногда получается, что если  -- одна из знакомых нам рассмотренных выше баз, то и  -- это тоже база известного типа.

        Пример 2.5   Пусть производится замена , где . Здравый смысл подсказывает нам, что если приближается к 2 и , то значения будут приближаться к , то есть база при такой замене переходит в базу . Это, конечно, верный результат; но не всё так просто, как покажут нам следующие два примера.

Рис.2.13.Преобразование базы при замене

Пока что проверим формально результат, полученный нами с помощью интуитивных представлений о "стремлении". Пусть  -- это произвольное окончание базы . Посмотрим, во что это множество перейдёт при действии функции . Поскольку эта линейная функция возрастает (её угловой коэффициент 3 положителен), то точки будут лежать между теми, в которые переходят концы интервала, то есть между и , и не будут совпадать с . Тем самым получили, что . При произвольном получаем произвольную проколотую окрестность точки 4 с полушириной : . Очевидно, что набор множеств  -- это база , как мы и предполагали, исходя из интуитивных соображений.    

        Пример 2.6   Пусть производится замена и . Рассуждая, как в предыдущем примере, получаем, что, наверное, тоже стремится к 0, то есть нужно рассматривать базу . Это, однако, не вполне верно. Следующий чертёж показывает, что образами окончаний базы служат не проколотые окрестности точки (являющиеся окончаниями базы ), а интервалы , где , примыкающие на оси (если её расположить горизонтально) справа к точке .

Рис.2.14.График и преобразование базы в базу

Набор таких интервалов образует правостороннюю базу , а не двустороннюю базу , как мы поторопились предположить. В некоторых примерах разница между этими базами может быть существенной при вычислении предела.

(Ниже мы рассмотрим предел , в котором эта разница существенна.)    

        Пример 2.7   Пусть производится замена при базе . Интуитивно ясно, что когда приближается к 1, то и тоже будет приближаться к 1, причём "ловушки" предыдущего примера здесь нет: так как при функция возрастает, то при и близких к 1 будет получаться , близкое к 1, а при и близких к 1 будет получаться , близкое к 1. Поэтому должна бы, вроде, при такой замене получиться база . Однако и это не вполне так. Глядя на следующий чертёж, можно заметить, что образ окончания  -- это множество

Эти два интервала, примыкающие к точке 1 слева и справа, имеют разную длину: левый имеет длину , а правый -- длину , то есть левый короче правого на .

Рис.2.15.График и преобразование базы

Однако по определению базы окончания этой базы состоят из пары примыкающих к точке 1 симметричных интервалов! Так что формально получилась не база , а нечто на неё похожее, но не совсем то же самое.    

На самом деле получившаяся в этом примере после замены база эквивалентна базе в смысле следующего определения.

        Определение 2.8   Две базы и назовём эквивалентными, если в любом окончании содержится некоторое окончание , и наоборот, в любом окончании содержится некоторое окончание .    

Базы и , рассмотренные в предыдущем примере, эквивалентны, так как любое несимметричное окончание базы , имеющее, как мы выяснили, вид , содержится в симметричном окончании и содержит симметричное окончание базы .

Пределы, вычисленные по эквивалентным базам, совпадают, так что эквивалентные базы нет смысла отличать друг от друга. В этом мы убедимся, доказав следующую теорему.

        Теорема 2.3   Пусть и  -- две эквивалентные базы, и существует . Тогда предел тоже существует, и .

        Доказательство.     Пусть фиксировано число . Так как по предположению теоремы , то для этого можно указать такое окончание базы , при любом из которого будет . Поскольку база эквивалентна базе , найдётся окончание , такое что ; следовательно, при любом . Значит, , что и требовалось доказать.     

Итак, вычисление пределов по эквивалентным базам даёт один и тот же результат, и в дальнейшем мы не будем различать эквивалентные базы, в том числе и при их обозначении. В частности, все базы, эквивалентные введённой выше базе , мы будем тоже обозначать , все базы, эквивалентные введённой выше базе , -- обозначать , и т. п.