mathserfer.narod.ru

Теория по высшей математике

‹-- Назад

Конструкция определённого интеграла и площадь криволинейной трапеции

Рассмотрим задачу о нахождении площади плоской области , ограниченной на координатной плоскости отрезком оси , графиком непрерывной функции , заданной на отрезке , и двумя отрезками вертикальных прямых и , соединяющими точки оси с точками графика (см. рис.).

Заметим, что если графиком служит не прямая линия и не окружность, то в школьном курсе математики не было определено, что такое площадь заданной области , так что для таких областей мы должны дать определение того, что такое площадь, и это определение должно быть согласовано с тем случаем, когда мы уже знаем, что такое площадь данной фигуры. Эту фигуру мы будем в общем случае называть криволинейной трапецией (считая параллельные вертикальные отрезки и её основаниями).

Сначала попробуем найти значение искомой площади приближённо. Для этого разделим область на узкие вертикальные полоски , проведя вертикальные линии ; при этом мы будем считать, что Тогда область лежит между прямыми и , где . Обозначим длины отрезков между такими прямыми через : . Очевидно, что площадь области лежит в пределах от до , где и (см. рис.), и примерно равна , где  -- произвольная точка отрезка .

Легко видеть также, что при любом выборе точек мы получаем

Тогда искомая площадь приблизительно равна сумме величин :

и лежит между суммой площадей и :

Из неравенства (3.1) следует также, что при любом выборе точек получаем

Если все отрезки деления имеют малые длины , то в силу непрерывности⁷ функции все разности между и будут также малы. Точнее говоря, для любого, как угодно малого можно найти такое , что при будет при всех . Значит, разница между правой и левой частями в (3.2) и (3.3) будет меньше, чем Поскольку при эта величина, очевидно, стремится к 0, то левые и правые части неравенств (3.2) и (3.3) имеют общий предел, который в силу (3.2) равен . По теореме "о двух милиционерах" величина также имеет пределом число  -- искомую площадь области .

Теперь заметим, что составить сумму мы можем не только для положительной непрерывной функции, но для произвольной функции , заданной на .

Разберёмся теперь с тем, от какой величины и при каком условии вычисляется упомянутый предел, то есть какова база предела. Величина зависит, в силу своего определения, во-первых, от выбора точек, которые делят на части отрезок , то есть от набора точек , где , а также от выбора промежуточных точек, в которых вычисляются значения функции, то есть набора точек , где . Наборы и задают размеченное разбиение отрезка : точки задают разбиение, а точки  -- разметку этого разбиения. Итак, при фиксированной функции величина зависит от размеченного разбиения :

Величина называется интегральной суммой, построенной для функции на отрезке по размеченному разбиению ; интегральная сумма является функцией от размеченного разбиения и определена на множестве всех размеченных разбиений .

Величина, равная длине самого большого из отрезков разбиения , называется диаметром разбиения; то же относится и к размеченному разбиению . Диаметр размеченного разбиения будем обозначать или . Итак,

Если длина каждого из отрезков разбиения меньше некоторого числа , то это означает, что .

Рассмотрим множество всех размеченных разбиений отрезка . При любом значении существуют разбиения с диаметром, меньшим . Достаточно, например, поделить отрезок на равных частей, взяв достаточно большое число этих частей: Значит, множество размеченных разбиений с диаметром, меньшим , не пусто при любом .

Если взять два значения , скажем, , то очевидно, что каждое разбиение диаметра меньше , одновременно имеет диаметр меньше , так что , если . Так что .

Вспомним теперь определение базы произвольного предела: база состоит из окончаний , таких что все они непусты и если , то существует третье окончание , такое что . Наши множества разбиений , как мы только что проверили, образуют некоторую базу в множестве всех разбиений отрезка . Действительно, мы проверили, что они непусты и при и в качестве можно взять , если .

Итак, размеченные разбиения образуют базу в том самом множестве, для элементов которого определены значения интегральной суммы . Эту базу мы будем обозначать . Когда мы берём размеченные разбиения со всё меньшим и меньшим диаметром, мы измельчаем деление отрезка на части, и при этом интегральная сумма может иметь предел, который, в случае положительной непрерывной функции , равен площади криволинейной трапеции.

Эти соображения приводят нас к следующему основному определению.

Если вспомнить общее определение предела и записать его применительно к нашему случаю, то получим, что число равно определённому интегралу от по отрезку , если для любого, сколь угодно малого числа мы можем выбрать такое число , задающее мелкость разбиения, что для любого размеченного разбиения с диаметром, меньшим , значение интегральной суммы будет отличаться от числа не больше чем на :

Заодно, кроме общего определения определённого интеграла, мы получили определение площади криволинейной трапеции, лежащей под графиком функции , как такого же предела интегральных сумм:

если функция непрерывна на и при всех .

Сделаем ещё такое важное замечание: в обозначении совершенно неважно, какой именно буквой обозначена переменная интегрирования (в данном случае ): если фиксированы подынтегральная функция и пределы интегрирования и , то интегралы , , и т. п. означают одно и то же число , к которому стремятся интегральные суммы, построенные для функции на отрезке при измельчении размеченного разбиения. (Точно так же сумма величин не зависит от того, какой буквой обозначать индекс суммирования: то же значение будут иметь суммы, обозначенные как , , и т. п.)

Рассматривая на каждом из отрезков разбиения значения и (в случае непрерывной функции они совпадают с и , которые мы рассматривали выше), мы можем дать для разбиения определение нижней интегральной суммы:

и верхней интегральной суммы:

При измельчении разбиения , то есть при добавлении к множеству точек деления дополнительных точек отрезка , не совпадающих с уже имеющимися и рассмотрении новых, более мелких, отрезков деления, верхние интегральные суммы, очевидно, могут лишь уменьшиться, а нижние интегральные суммы -- лишь увеличиться: если  -- разбиение с добавленными точками деления, то

Очевидно также, что для любого размеченного разбиения имеет место неравенство

Отсюда сразу следует такая теорема:

Верно и обратное утверждение:

        Доказательство.     Доказательство этого утверждения несколько более сложно, чем предыдущей теоремы; дадим его набросок.

Как для верхней, так и для нижней интегральной суммы, соответствующей разбиению , можно указать такие точки разметки (при том же самом разбиении ), что получающаяся интегральная сумма со значениями функции в этих точках будет произвольно мало (скажем, меньше, чем на ) отличаться от верхней (или нижней) интегральной суммы, а при достаточно мелком разбиении она мало отличается и от значения интеграла (тоже, скажем, меньше, чем на . Следовательно, как угодно мало (меньше, чем на ) отличается от значения интеграла и верхняя (или нижняя) интегральная сумма; это говорит о том, что верхняя (нижняя) интегральная сумма стремится к при неограниченном измельчении разбиения.     

Кроме того, мы можем теперь сформулировать такую теорему:

        Доказательство.     Доказательство, по сути дела, было приведено выше, при построении интегральных сумм, соответствующих значениям и . Для строгости доказательства нужно лишь заметить, что при переходе ко всё более мелким разбиениям путём добавления новых точек деления нижние интегральные суммы не убывают и ограничены сверху значением любой из верхних интегральных сумм ; аналогично, верхние интегральные суммы не возрастают при измельчении разбиения и ограничены снизу значением любой нижней интегральной суммы . Поэтому для доказательства существования предела достаточно теперь сослаться на теорему о существовании предела монотонной ограниченной функции, которая была изучена в первом семестре.     

Проверим, что данное нами определение площади криволинейной трапеции не противоречит формуле, задающей площадь обычной трапеции. Обычная трапеция получается, если функция  -- линейна: . Это непрерывная на любом отрезке функция, так что интеграл, задающий площадь под графиком, существует:

Возьмём следующее размеченное разбиение с произвольно малым диаметром. Разобьём отрезок на равных частей, длина каждой из которых будет , а в качестве точек разметки возьмём середину соответствующего отрезка, то есть положим . тогда величина будет в точности равна площади (см. рис.):

Значит, соответствующая этому размеченному разбиению интегральная сумма будет в точности равна площади трапеции . Поскольку мы можем взять диаметр такого разбиения произвольно малым (увеличивая ), то предел для произвольных разбиений не может давать иного, кроме , значения. Тем самым мы доказали корректность определения площади криволинейной трапеции⁸.