mathserfer.narod.ru

Теория по высшей математике

Бесконечно большие величины и бесконечные пределы

        Определение 2.13   Пусть функция определена на некотором окончании базы и имеет следующее свойство:
для любого, как угодно большого, положительного числа можно найти такое окончание базы , что при любом будет выполнено неравенство

Рис.2.29.Бесконечно большая при базе

Тогда функция называется бесконечно большой при базе ; это обозначается так:

или так:

или даже так:

Если при этом при , то для положительной бесконечно большой можно писать или , а если , то для отрицательной бесконечно большой можно писать или .     

Нужно, конечно, чётко осознавать, что предел, равный бесконечности, -- это чисто условная запись и что в этом случае никакого числового значения такой предел не имеет и, следовательно, не существует, в смысле определения предела функции.

        Пример 2.24   Примером бесконечно большой при может служить : в качестве окончания можно тогда взять . Очевидно, что тогда , если .

Рис.2.30.График

    

        Пример 2.25   Примером положительной бесконечно большой при может служить .

Рис.2.31.График

В качестве упражнения найдите зависимость числа , задающего окончание базы , от числа .     

        Пример 2.26   Примером отрицательной бесконечно большой при может служить функция .

Рис.2.32.График

В качестве упражнения найдите зависимость числа , задающего окончание базы , от числа .     

Связь бесконечно больших и бесконечно малых величин устанавливает следующая теорема.

        Теорема 2.16   Пусть  -- функция, бесконечно большая при базе . Тогда величина  -- бесконечно малая при базе .

        Доказательство.     Для начала заметим, что на всех достаточно далёких окончаниях базы будет , так что функция определена на этих окончаниях. Далее, пусть взято некоторое . Положим и выберем такое окончание , что при из этого окончания. Тогда при таких , что и означает, что .     

        Замечание 2.9   Утверждение, обратное к доказанной теореме, вообще говоря, неверно: если  -- бесконечно малая при базе , то функция не всегда является бесконечно большой при базе , хотя бы потому, что может быть не определена ни на каком окончании базы . Простейший пример -- это постоянная величина , которая, очевидно, бесконечно мала при любой базе ( ), но не имеет смысла ни при каких . Однако если сделать дополнительное предположение, что при всех из некоторого окончания базы , то обратное утверждение становится верным.     

        Теорема 2.17   Пусть  -- такая бесконечно малая при базе , что при всех из некоторого окончания базы . Тогда функция  -- бесконечно большая при базе .    

Докажите эту теорему в качестве упражнения.

Утверждение, что некоторая функция является бесконечно большой положительной величиной при базе означает при вычислении пределов, что при замене база переходит в базу . Если же  -- отрицательная бесконечно большая, то после замены получится база . Прослеживая за изменениями баз при последовательных заменах, можно вычислять многие пределы.

        Пример 2.27   Найдём предел .

Рассмотрим замену . При будет . Пусть теперь . При будет . Наконец, пусть . При будет . (См. графики, расположенные ниже.) Последнее соотношение означает, что

(и что, вдобавок, величина остаётся положительной).     

Рис.2.33.Графики зависимостей , ,

Заметим, что при решении было важно отследить изменение функций именно при , стремящемся к 0 справа. В качестве упражнения покажите, что если бы рассматривалась база , то получилась бы бесконечно большая положительная величина , а при базе величина не имеет никакого предела и не является бесконечно большой.