‹-- Назад
Угол между плоскостями
Пусть плоскости
и 
заданы соответственно уравнениями 
и 
. Требуется найти угол 
между этими плоскостями. Плоскости, пересекаясь, образуют четыре двугранных угла (рис. 11.6): два тупых и два острых или четыре прямых, причем оба тупых угла равны между собой, и оба острых тоже равны между собой. Мы всегда будем искать острый угол. Для определения его величины возьмем точку 
на линии пересечения плоскостей и в этой точке в каждой из плоскостей проведем перпендикуляры 
и 
к линии пересечения. Нарисуем также нормальные векторы 
и 
плоскостей и с началами в точке (рис. 11.6).
Если через точку провести плоскость 
, перпендикулярную линии пересечения плоскостей и , то прямые и и изображения векторов и будут лежать в этой плоскости. Сделаем чертеж в плоскости (возможны два варианта: рис. 11.7 и 11.8).
В одном варианте (рис. 11.7) 
и 
, следовательно, угол 
между нормальными векторами равен углу , являющемуся линейным углом острого двугранного угла между плоскостями и .
Во втором варианте (рис. 11.8) 
, а угол между нормальными векторами равен 
. Так как
. По определению скалярного произведения 
. Откуда
Так как координаты нормальных векторов известны, если заданы уравнения плоскостей, то полученная формула (11.4) позволяет найти косинус острого угла между плоскостями.
Если плоскости перпендикулярны, то перпендикулярны и их нормальные векторы. Получаем условие перпендикулярности плоскостей:
Если плоскости параллельны, то коллинеарны их нормальные векторы. Получаем условие параллельности плоскостей
где
-- любое число.
