mathserfer.narod.ru

Теория по высшей математике

Гиперболические функции и ареа-функции

Для рассмотрения дальнейших примеров нам понадобится определение гиперболических функций и ареа-функций, обратных к гиперболическим.

        Определение 3.6   Гиперболическим синусом называется функция

Гиперболическим косинусом называется функция

Гиперболическим тангенсом называется функция

Гиперболическим котангенсом называется функция

    

Функции , и  -- нечётные; функция  -- чётная. Области определения гиперболических функций таковы:

        Замечание 3.2   В англоязычной литературе используется обозначение вместо , вместо , вместо , вместо .     

Некоторые из свойств гиперболических функций схожи (но не всегда в точности совпадают) со свойствами соответствующих тригонометрических функций. Например, имеют место формулы:

Подобно тому, как равенство выражает тот факт, что точка координатной плоскости с координатами , при изменении параметра движется по окружности радиуса 1, заданной уравнением (и называемой тригонометрическим кругом), равенство говорит о том, что точка с координатами , движется по равносторонней гиперболе, заданной уравнением . Отсюда и происходит название: гиперболические функции.

Функции , непрерывны и монотонно возрастают на своих областях определения. Поэтому они имеют обратные функции, которые также монотонно возрастают и непрервыны. Функция, обратная к функции , называется обратным гиперболическим синусом, или ареа-синусом, и обозначается . Имеем: , . Функция, обратная к функции , называется обратным гиперболическим тангенсом, или ареа-тангенсом, и обозначается . Итак, , .

Рис.3.27.Графики функций и

Функция , хотя и имеет разрыв в точке 0, монотонна на интервалах и и принимает каждое своё значение ровно один раз. Поэтому существует обратная функция, называемая обратным гиперболическим котангенсом, или ареа-котангенсом, обозначаемая . Она определена на и принимает значения в множестве .

Рис.3.28.График функции

Функция не является монотонной на всей своей области определения. Однако монотонно (и непрерывно) её ограничение на полуось , при этом функция принимает все значения из . Поэтому для этого ограничения существует обратная функция, называемая обратным гиперболическим косинусом, или ареа-косинусом и обозначаемая . Она непрерывна на своей области определения и принимает значения на .

Возможен вариант: вместо ограничения на можно рассмотреть ограничение функции на , а затем функцию, обратную к этому ограничению. Эту функцию часто также называют ареа-косинусом и обозначают , однако нужно чётко осознавать, что при таком построении получается другая функция (будем обозначать её здесь ). Итак, и .

Рис.3.29.Графики функций и

        Замечание 3.3   В англоязычной литературе используется обозначение вместо , вместо , вместо , вместо .     

        Упражнение 3.3   Докажите, пользуясь определением гиперболических функций, что ареа-функции выражаются через логарифмическую функцию следующим образом: