mathserfer.narod.ru

Функция, имеющая в точке производную (соотв. левую производную, правую производную), называется дифференцируемой (соотв. дифференцируемой слева, дифференцируемой справа) в точке . Функция, дифференцируемая во всех точках некоторого интервала , называется дифференцируемой на интервале . Пусть теперь  -- замкнутый отрезок. Функция, дифференцируемая во всех точках интервала , дифференцируемая справа в точке и дифференцируемая слева в точке , называется дифференцируемой на отрезке .

Вычислим производную данной функции в различных точках некоторого интервала и предположим, что производная существует при всех . Тогда мы можем задать соответствие между точками интервала и числами и получаем функцию . Эта функция называется производной от функции (или первой производной от ).

С математической точки зрения, разница между формулами (4.3 a-c) невелика: согласно теореме о связи двустороннего предела с односторонними, если существует производная , то существуют обе односторонние производные (правая и левая ), и . Обратно, если существуют и равны друг другу односторонние производные, , то существует и производная , совпадающая с их общим значением.

В предположении, что производная существует, мы можем теперь сказать, что число задаёт мгновенную скорость изменения координаты при ; с геометрической точки зрения, эта скорость равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику при : чем быстрее растут (или убывают) значения функции, тем круче наклонён график к оси (составляя, соответственно, положительный или отрицательный угол с осью ).

        Замечание 4.1   В числителе дроби, предельное значение которой даёт производную, стоит выражение . Оно называется приращением функции. В знаменателе стоит величина . Она называется приращением аргумента. Величина называется разностным отношением¹². Условие можно, очевидно, записать в виде (кстати, база эквивалентна базе ). Тем самым определение производной можно записать в таком виде:

От такой записи происходит обозначение производной в виде .     

        Пример 4.1   Рассмотрим линейную функцию . Тогда , и при любом . Получаем, что для линейной функции производная в любой точке равна угловому коэффициенту . (Что неудивительно: ведь касательная к прямой, служащей графиком линейной функции, -- это та же самая прямая, а угловой коэффициент касательной равен производной!) В частности, при получаем, что производная любой постоянной, то есть функции , равна 0:

(4.5)

а при и получаем, что

(4.6)

    

        Пример 4.2   Пусть и . Вычислим односторонние производные и .

При имеем и . Значит, разностное отношение равно и

При имеем и . Значит, разностное отношение равно и

Графически это означает следующее. Мы строим касательную к графику

в точке , сначала пользуясь секущими с точкой правее . Эта касательная, как и все такие секущие, совпадают между собой и имеют уравнение , задающее прямую, наклонённую под углом к оси ( ). Далее, мы строим касательную, пользуясь секущими с точкой левее . Все такие секущие и касательная, по ним построенная, совпадают между собой и имеют уравнение , задающее прямую, наклонённую под углом к оси ( ).

Рис.4.4.График имеет излом при

Таким образом, неравенство левой и правой производной выражает тот геометрический факт, что линия имеет при излом под углом и не имеет общей касательной сразу к двум сторонам этого угла.     

Покажем теперь, что дифференцируемая функция не может быть разрывной.

        Теорема 4.1   Пусть функция дифференцируема (дифференцируема слева, дифференцируема справа) в точке . Тогда непрерывна (соотв. непрерывна слева, непрерывна справа) в этой точке .

        Доказательство.     Из существования производной

Для доказательства теоремы в случае существования односторонних производных достаточно сменить базу на базу или .     

        Замечание 4.2   Предыдущий пример показывает, что обратное утверждение неверно: функция не обязательно имеет производную во всех тех точках, где она непрерывна. Действительно, функция непрерывна при , но не имеет производной в точке 0.

Более того, можно построить пример такой функции, которая непрерывна во всех точках числовой прямой, но не имеет производной ни в одной из этих точек. Два таких примера (функции Вейерштрасса и Ван дер Вардена) приведены в весьма любопытной и полезной для понимания математики книге [Гелбаум Б., Олмстед Дж., Контрпримеры в анализе. -- М.: Мир, 1967. -- С. 52 - 53]. Построение функции Вейерштрасса приведено также в учебнике [Калугина Т.Ф., Киселёв В.Ю., Математический анализ. -- Иваново, изд. ИГАСА, 1997. -- С. 99 -101]. (Функция Вейерштрасса обладает ещё следующим замечательным свойством: она не монотонна ни на каком, как угодно коротком, интервале.) Построение непрерывных, но нигде не дифференцируемых функций -- довольно сложная процедура.     

        Замечание 4.3   Заметим, что доказанная теорема гарантирует непрерывность функции, имеющей производную в точке , только в этой самой точке , но не на некотором интервале, окружающем . Примером функции, имеющей производную при , но разрывной при всех , служит функция

(Напомним, что через обозначается множество всех рациональных чисел. Рациональные числа, как и иррациональные, плотно расположены на числовой оси : между любыми двумя рациональными числами найдётся иррациональное число, а между двумя иррациональными -- рациональное.) Действительно, ; если  -- рациональное число, то разностное отношение , а если  -- иррациональное, то . И в том, и в другом случае разностное отношение стремится к 0 при , так что существует производная . Однако, как нетрудно заметить, функция разрывна во всех точках , кроме .     

        Замечание 4.4   Заметим также, что даже если функция имеет производную на некотором интервале, окружающем точку , значение может оказаться не равным пределу значений при , то есть производная может оказаться разрывной функцией.¹³ Примером такой функции с всюду существующей, но разрывной производной может служить функция

Производная этой функции, как мы покажем ниже, равна

Нетрудно видеть, что эта функция имеет разрыв второго рода в точке 0, из-за слагаемого , совершающего бесконечное число колебаний амплитуды 1 в любой, как угодно малой, окрестности точки 0.