mathserfer.narod.ru

Теория по высшей математике

‹-- Назад

Параболоиды

Исследуем форму эллиптического параболоида. Он имеет две плоскости симметрии и ось симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости , и координатная ось .

Для построения эллиптического параболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью . На этой плоскости , поэтому

Координаты только одной точки плоскости могут удовлетворять данному уравнению, а именно, начала координат. Найдем линию пересечения с плоскостью . На этой плоскости , поэтому

Это уравнение параболы на плоскости . Построим ее (рис. 13.19). Сечение плоскостью также является параболой. Нарисуем и ее (рис. 13.19). Найдем линии пересечения поверхности с плоскостью . Уравнения этой линии

Очевидно, что только одна точка (начало координат) удовлетворяет этим уравнениям, если . Эта точка называется вершиной параболоида.

Пусть . Первое уравнение преобразуем к виду

то есть к виду

где , . Уравнение (13.14) является уравнением эллипса. Нарисуем полученное сечение (рис. 13.19). При плоскость поверхность не пересекает.

Найдем сечения параболоида плоскостями , параллельными плоскости . Линии этих сечений удовлетворяют уравнениям

и являются параболами, такими же, как в плоскости , только сдвинутыми вверх на величину , их вершины при таком сдвиге лежат на параболе, получившейся в сечении плоскостью (рис. 13.20).

Следовательно, вся поверхность может быть получена движением параболы, лежащей в плоскости . Парабола должна двигаться так, чтобы ее плоскость была параллельна плоскости , а вершина скользила по параболе в плоскости .

Привычное для глаза изображение приведено на рисунке 13.21.

Если в уравнении (13.13) , то сечения плоскостями, параллельными плоскости , являются окружностями. В этом случае поверхность называется параболоидом вращения и может быть образована вращением параболы, лежащей в плоскости , вокруг оси (рис. 13.22).

Исследуем форму гиперболического параболоида. Так же, как и эллиптический параболоид, он имеет две плоскости симметрии и ось симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости , и координатная ось .

Для построения гиперболического параболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью . На этой плоскости , поэтому

Это уравнение определяет на плоскости пару прямых , изображенных на рисунке 13.23.

Найдем линию пересечения с плоскостью . На этой плоскости , поэтому

Это уравнение на плоскости задает параболу, ветви которой направлены вниз. Построим ее (рис. 13.23). Сечение плоскостью также является параболой

но ее ветви направлены вверх. Нарисуем и ее (рис. 13.23).

Найдем линии пересечения поверхности с плоскостью , . Уравнения этой линии

Первое уравнение преобразуем к виду

то есть к виду

где , . Уравнение (13.16) является уравнением гиперболы. Ее действительная ось параллельна оси , а мнимая -- оси . Полуоси равны соответственно и . Нарисуем полученное сечение, но чтобы не перегружать рисунок линиями, асимптоты изображать не будем (рис. 13.24).

Найдем линии пересечения с плоскостями , параллельными плоскости . Уравнения этих линий

Первое из этих уравнений является уравнением параболы, такой же, как и в сечении плоскостью , только сдвинутой вдоль оси на величину вверх. Эти параболы изображены на рисунке 13.24.

Так как -- произвольное число, то вся поверхность может быть получена движением параболы, лежащей в плоскости . Передвигать параболу нужно так, чтобы ее плоскость оставалась параллельной плоскости , а вершина скользила по параболе в плоскости .

Плоскость , , пересекает поверхность по гиперболе, но в отличие от гиперболы (13.16), ее действительная ось параллельна теперь оси , а мнимая -- оси (рис. 13.25).

Привычное для глаза изображение приведено на рисунке 13.26.