mathserfer.narod.ru

Теория по высшей математике

‹-- Назад

Площадь в полярных координатах

Напомним, что определением интеграла служит предел интегральных сумм, взятый при условии измельчения разбиения отрезка интегрирования. Этим определением мы воспользуемся для нахождения площади в следующем случае.

Пусть на плоскости фиксирована система полярных координат: полярными координатами точки служат два числа (  -- полярный радиус,  -- полярный угол).

Уравнение, задающее зависимость величины от полярного угла ,

задаёт некоторую линию на плоскости. Будем предполагать, что функция непрерывна при . Рассмотрим область на плоскости, расположенную между выходящими из начала координат лучами и и линией (эта область заштрихована на следующем чертеже).

Найдём площадь области , вначале приблизив область ступенчатой фигурой следующего устройства. Область изменения угла , то есть отрезок , разобьём на части точками деления

и выберем на каждом участке некоторую отмеченную точку . Получаем размеченное разбиение отрезка . Приближённо будем считать площадь сектора области , лежащего между лучами и , равной площади кругового сектора с тем же центральным углом и радиусом, равным (см. рис.):

Площадь кругового сектора подсчитывается по формуле

Значит, площадь всей области приближённо равна интегральной сумме

построенной по выбранному размеченному разбиению отрезка для функции

При неограниченном измельчении разбиения , то есть при условии , эта интегральная сумма будет стремиться к площади области . С другой стороны, предел интегральных сумм для функции даст определённый интеграл от этой функции. Таким образом, получаем формулу площади:

Более кратко эту формулу можно записать так:

где имеется в виду, что вместо полярного радиуса нужно подставить его выражение через полярный угол для зависимости, график которой ограничивает область снаружи.

Если область имеет границу, состоящую из двух отрезков лучей и (эти отрезки могут вырождаться в одну точку) и двумя линиями, заданными уравнениями в полярных координатах: и , причём при всех (см. рис.), то площадь области можно представить как разность двух площадей:  -- площади области, лежащей между лучами , и линией , -- и  -- площади области, лежащей между лучами , и линией .

Каждую из площадей и можно подсчитать по формуле (6.3), так что получаем в итоге