‹-- Назад
Производная обратной функции
Пусть 
-- непрерывная функция, монотонная на интервале 
. Тогда, как мы доказали в гл. 3, функция 
имеет обратную функцию 
, которая также является непрерывной и монотонной функцией на интервале 
, в который функция 
переводит интервал . Пусть 
-- фиксированная точка и 
-- точка, ей соответствующая. Тогда 
.
имеет в точке 
производную 
. Тогда обратная функция 
имеет в соответствующей точке 
производную 
, которую можно отыскать по формуле 
Доказательство. Дадим аргументу приращение 
, такое что 
, и рассмотрим соответствующее приращение 
, определяемое равенством 
. Тогда, очевидно, 
; при этом 
, а из монотонности функции следует, что 
. Поскольку как функция , так и функция 
непрерывны, то условия 
и 
эквивалентны. Составим теперь разностное отношение для функции и запишем для него очевидное равенство:
и учтём, что при этом 
тоже стремится к 0: 
Заметим, что, очевидно, из формулы (4.14) следует, что
если
-- функция, обратная к .
, то разностное отношение 
стремится к 
при , что соответствует вертикальной касательной к графику при 
(если считать, что ось 
расположена горизонтально, а ось 
-- вертикально). 
и и касательные к ним при Полученная формула для производной обратной функции имеет прозрачный геометрический смысл. Заметим, что график как функции , так и обратной функции изображается на координатной плоскости 
одной и той же линией, состоящей из точек 
, где или, что то же самое, . Поэтому, если в точке 
график функции имеет касательную, образующую угол 
с осью 
, то угол той же касательной с осью будет, очевидно, равен 
. Тогда
производная даёт тангенс угла наклона касательной по отношению к оси , на которой меняется аргумент функции . 
и , дополняют друг друга до 
