‹-- Назад

Пределы функций нескольких переменных

Для того чтобы дать определение предела функции нескольких переменных, нужно напомнить общее определение базы предела и предела функции по данной базе. Пусть функция имеет область определения .

        Определение 7.8   Базой называется такой набор множеств , называемых окончаниями базы, что, во-первых, все не пусты и, во-вторых, если , то найдётся такое окончание , что .     

        Определение 7.9   Пусть функция такова, что её область определения содержит целиком некоторое окончание базы . Число называется пределом функции по базе , если для любого, сколь угодно малого, числа найдётся такое окончание базы , что при всех выполняется неравенство . Число обозначается тогда

    

Дадим примеры баз, используемых при вычислении пределов функций нескольких переменных.

        Пример 7.6   Пусть . Назовём -окрестностью точки открытый шар радиуса с центром в точке . Множество всех таких шаров образует, как нетрудно видеть, базу окрестностей точки .

Назовём проколотой -окрестностью открытый шар радиуса с центром в точке  , из которого выброшена сама точка , то есть

База всех проколотых -окрестностей точки  обозначается .

Пусть  -- некоторое фиксированное непустое множество в и . Рассмотрим в качестве окончаний все пересечения с проколотыми -окрестностями точки :

Тогда совокупность всех образуют базу. Эту базу мы будем обозначать .

Рис.7.8.



Если , то при достаточно малых окончания совпадают с проколотыми окрестностями точки .

Рис.7.9.



    

        Пример 7.7   Множества

то есть внешности шаров радиуса с центром в начале координат, образуют базу окрестностей бесконечности. Эта база обозначается .     

По любой из приведённых баз можно вычислять предел функции нескольких переменных, при условии, что функция определена на каком-нибудь окончании данной базы.

Например, число служит пределом функции при , где  -- внутренняя точка области , если для любого числа найдётся такое (достаточно малое) число , задающее проколотую окрестность , что при будет выполнено неравенство . В этом случае будем писать

Если же  -- не внутренняя, а граничная точка области , то можно рассмотреть предел функции по базе . (Заметим, что если и , то предел по базе заведомо не имеет смысла, так как функция не определена во всех точках ни одного из окончаний этой базы). Вся разница с пределом по базе будет состоять в том, что требовать выполнения неравенства мы теперь будем лишь в тех точках проколотой -окрестности точки , которые одновременно принадлежат и . Предел

мы будем называть пределом функции при , стремящемся к изнутри области  .

Общие свойства пределов были нами изучены в курсе математики в первом семестре. Эти свойства верны и для пределов функций нескольких переменных.





Математика, вышка, высшая математика, математика онлайн, вышка онлайн, онлайн математика, онлайн решение математики, ход решения, процес решения, решение, задачи, задачи по математике, математические задачи, решение математики онлайн, решение математики online, online решение математики, решение высшей математики, решение высшей математики онлайн, матрицы, решение матриц онлайн, векторная алгебра онлайн, решение векторов онлайн, система линейных уравнений, метод Крамера, метод Гаусса, метод обратной матрицы, уравнения, системы уравнений, производные, пределы, интегралы, функция, неопределенный интеграл, определенный интеграл, решение интегралов, вычисление интегралов, решение производных, интегралы онлайн, производные онлайн, пределы онлайн, предел функции, предел последовательности, высшие производные, производная неявной функции

на главную
Hosted by uCoz