‹-- Назад
Ограничения функции на данное множество
Пусть вещественнозначная функция
задана в некоторой области 
, и 
-- некоторое подмножество этой области; тем самым, функция определена и при всех 
. Если теперь рассматривать значения лишь в точках , а вне 
вообще не рассматривать, то получаем функцию, областью определения которой служит множество :
называется ограничением функции 
на множество .
определена на всей плоскости 
. Рассмотрим в качестве множества круг 
Тогда ограничение 
задаётся той же формулой: 
, но теперь мы можем брать в качестве аргументов только такие точки 
, для которых 
, то есть 
. Если же взять за множество прямую 
с уравнением 
на плоскости , то запись выражения, задающего функцию 
, можно будет упростить, использовав уравнение прямой, а именно, либо получить
выражение зависит лишь от 
и задаёт функцию одного переменного : 
, где 
, а во втором случае -- лишь от 
и задаёт другую функцию одного переменного: 
, где 
. Функции 
и 
, выражающие значение ограничения через меньшее, по сравнению с исходным, число переменных (в данном примере -- через одну переменную, или ) называются параметризациями ограничения 
. Те переменные, от которых зависит параметризация, называются параметрами ограничения (точнее, параметрами рассматриваемой параметризации; как показывает приведённый выше пример, одно и то же ограничение 
может иметь различные параметризации).
При рассмотрении ограничения функции разумно использовать те параметры, при которых параметризация задаётся более простой формулой.
определена на всей плоскости с переменными 
. Рассмотрим ограничение этой функции на кубическую параболу 
, то есть на множество тех точек плоскости, что связаны уравнением 
. Уравнение параболы можно записать также в виде 
. Используя эти два уравнения, мы можем получить параметризацию ограничения с помощью параметра :
:
Не должно создаваться впечатления, будто параметрами ограничения могут выступать лишь какие-либо из исходных переменных, от которых зависит рассматриваемая функция . В следующем примере гораздо более удобной для параметризации служит переменная, равная полярному углу 
, а не какая-либо из координат или .
, заданную на плоскости 
, и окружность 
. Ограничение с параметром , равным полярному углу, отыскивается тогда с помощью соотношений между декартовыми и полярными координатами:
-- полярный радиус, равный 
. Тогда уравнение окружности можно записать как 
, а функция будет задаваться равенством
. Заметим, что невозможно получить параметризацию этого ограничения с помощью параметров или на всей окружности сразу: при одном и том же (или ) в точках окружности, симметричных относительно оси 
(или 
соответственно), функция принимает разные значения. Однако если в качестве рассматривать не всю окружность, а, скажем, её верхнюю часть, которая задаётся уравнением 
, то ограничение на можно будет параметризовать с помощью параметра :
. Аналогично можно параметризовать ограничение на нижнюю часть окружности, использовав уравнение этой нижней части: 
. С помощью параметра можно параметризовать ограничение на правую (при 
) или левую (при 
) половины окружности.
