‹-- Назад
Четыре теоремы о дифференцируемых функциях
В этом разделе мы рассмотрим некоторые утверждения, касающиеся функций, которые во всех точках данного множества имеют производную. Такие функции называются дифференцируемыми на данном множестве.
Первая теорема имеет вспомогательный характер для дальнейшего, хотя важна и сама по себе.
Пусть функция 
определена на некотором множестве 
, и 
. Назовём точку 
точкой максимума функции 
на множестве 
, если при всех 
выполняется неравенство 
, и точкой минимума, если при всех выполняется неравенство 
.
Точка 
, являющаяся либо точкой максимума, либо точкой минимума, называется точкой экстремума.
имеет на множестве точку экстремума 
, причём множество содержит некоторую 
-окрестность 
точки . Тогда либо имеет в точке производную, равную 0, то есть 
, либо производная в точке не существует. 
означает, что тангенс угла 
наклона касательной к графику 
, проведённой при 
, равен 0. Отсюда 
, то есть теорема Ферма утверждает, что касательная, проведённая в точке экстремума, горизонтальна (если эта касательная существует). Доказательство теоремы Ферма. Если производная в точке экстремума не существует, то утверждение теоремы верно. Предположим, что производная 
существует. Рассмотрим два случая.
Пусть функция имеет в точке максимум. Тогда 
при всех 
, поскольку . Если взять 
, то 
, и поэтому 
. При вычислении производной мы переходим к пределу при 
в этом разностном отношении. При этом знак нестрогого неравенства сохраняется, когда мы берём предел справа:
, 
, и поэтому 
. Отсюда, вычисляя предел слева, получаем: 
и 
, что возможно лишь при . Пусть теперь функция имеет в точке минимум. Тогда 
при всех , поскольку . Если взять , то , и поэтому . Переходя к пределу при 
в разностном отношении, получаем:
, , и поэтому . Вычисляя предел слева, получаем: 
и получаем, что .
имеет на отрезке 
точку минимума 
. Производная функции существует при всех 
: 
. В точке минимума производная, действительно, оказывается равной 0: 
, так что утверждение теоремы Ферма выполнено. 
имеет на отрезке точку минимума . Производная функции при 
не существует. (Производная существует при всех 
, она равна 1 при 
и 
при 
.) Итак, в точке минимума этой функции производная не существует, и утверждение теоремы Ферма снова выполнено. 
Далее мы будем предполагать, что функция , заданная на отрезке 
, удовлетворяет следующим условиям: она непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале 
; существование односторонних производных в точках 
и 
, вообще говоря, не предполагается. Непрерывность во всех внутренних точках отрезка, конечно, следует из предположенной дифференцируемости, а вот непрерывность в точках (непрерывность справа) и (непрерывность слева) из дифференцируемости в точках интервала не следует.
дифференцируема на интервале , непрерывна в точках и и принимает в этих точках значение 0: 
. Тогда найдётся хотя бы одна точка 
, в которой .
и дифференцируемой функции обязательно найдётся корень её производной 
(то есть точка , такая что ). Условие означает, что касательная, проведённая к графику при , расположена горизонтально. Заметим также, что теорема Ролля не утверждает, что корень -- единственный корень производной на интервале ; на этом интервале может находиться несколько корней производной.
Доказательство теоремы Ролля. Так как при наших предположениях функция непрерывна на отрезке , то она принимает своё максимальное значение 
и минимальное значение 
в некоторых точках 
и 
этого отрезка.
Рассмотрим два случая. Если 
, то наибольшее и наименьшее значения функции совпадают, и, следовательно, функция постоянна на отрезке : 
. Значит, 
при всех 
, и в качестве в этом случае можно взять любую точку интервала .
Если же 
, то либо , либо отлично от 0 и, следовательно, либо точка , либо точка не совпадает с концами отрезка и , то есть лежит внутри интервала . Пусть, для определённости, -- внутренняя точка интервала. Тогда, по теореме Ферма, 
, поскольку по предположению доказываемой теоремы, имеет производную во всех точках интервала и, следовательно, в точке . Итак, в этом случае точку можно взять в качестве искомой точки : тогда .
дифференцируема на интервале и непрерывна в точках и . Тогда найдётся такая точка , что
Если считать, что аргументу
придано приращение 
, то функция получает приращение 
. (При этом мы не считаем, что 
и 
стремятся к 0, то есть это конечные, а не бесконечно малые, приращения.) При этих обозначениях формулу (5.2) мы можем записать в виде 
Доказательство теоремы Лагранжа. Дадим сначала геометрическую иллюстрацию теоремы. Соединим конечные точки графика на отрезке хордой. Конечные приращения и -- это величины катетов треугольника, гипотенузой которого служит проведённая хорда.
Отношение конечных приращений и -- это тангенс угла наклона хорды. Теорема утверждает, что к графику дифференцируемой функции можно провести в некоторой точке касательную, которая будет параллельна хорде, то есть угол наклона касательной ( 
) будет равен углу наклона хорды 
( 
). Но наличие такой касательной геометрически очевидно.
Заметим, что проведённая хорда, соединяющая точки 
и 
-- это график линейной функции 
. Поскольку угловой коэффициент этой линейной функции равен, очевидно, 
, то
). Сведём доказательство к применению теоремы Ролля. Для этого введём вспомогательную функцию 
, то есть
и 
(по построению функции ). Так как линейная функция дифференцируема при всех 
, то функция удовлетворяет, тем самым, всем свойствам, перечисленным в условии теоремы Ролля. Поэтому найдётся такая точка , что 
. Заметим теперь, что
можно переписать в виде 
Из теоремы Лагранжа вытекает утверждение, обратное к тому, что производная постоянной есть 0, а именно:
функция имеет производную , тождественно равную 0: 
. Тогда на интервале . Доказательство. Заметим для начала, что непрерывность функции в любой точке интервала следует из дифференцируемости в этой точке. Значит, теорему Лагранжа можно применить к функции на любом отрезке 
.
Возьмём любые две точки 
, такие что 
, и выпишем для функции на отрезке 
формулу конечных приращений: 
, при некотором 
. Но в любой точке производная по предположению равна 0, в том числе . Отсюда 
, или 
. Обозначим это общее значение через 
. Выбирая произвольно точку 
, получим, что 
при всех 
; выбирая произвольно точку 
, -- что при всех 
. Но это означает, что при всех .
и 
дифференцируемы на интервале 
и непрерывны при 
и 
, причём 
при всех 
. Тогда в интервале найдётся такая точка 
, что 
Доказательство. Докажем сначала, что 
, то есть что дробь в левой части формулы имеет смысл. Действительно, для этой разности можно записать формулу конечных приращений:
. Но в правой части этой формулы оба множителя отличны от нуля. Для доказательства теоремы применим тот же приём, что при доказательстве теоремы Лагранжа: введём вспомогательную функцию
, очевидно, является дифференцируемой при всех и непрерывной в точках и , поскольку этими свойствами обладают функции 
и 
. Кроме того, очевидно, что при получается 
. Покажем, что и 
: 
удовлетворяет на отрезке 
условиям теоремы Ролля. Поэтому существует такая точка 
, что 
. Вычислим теперь производную функции :
и 
координатами движущейся на плоскости 
точки, которая описывает линию 
, соединяющую начальную точку 
с конечной точкой 
. (Тогда уравнения и параметрически задают некоторую зависимость 
, графиком которой служит линия .) 
Отношение 
, как нетрудно видеть из чертежа, задаёт тогда угловой коэффициент хорды, соединяющей точки и . В то же время, по формуле производной функции, заданной параметрически, имеем: 
. Значит, дробь 
-- это угловой коэффициент касательной к линии в некоторой точке 
. Тем самым утверждение теоремы означает, с геометрической точки зрения, что на линии найдётся точка, такая что проведённая в этой точке касательная параллельна хорде, соединяющей крайние точки линии. Но это -- то же самое утверждение, которое составляло геометрический смысл теоремы Лагранжа. Только в теореме Лагранжа линия была задана явной зависимостью , а в теореме Коши -- зависимостью, заданной в параметрической форме.
