‹-- Назад
Свойства функций, непрерывных в области
Назовём множество 
ограниченным, если оно целиком содержится в шаре достаточно большого радиуса, то есть если найдётся такое число 
, что
непрерывна в замкнутой и ограниченной области 
, то: 1) функция ограничена на , то есть существует такая постоянная 
, что 
при всех 
;
2) функция принимает в области наибольшее и наименьшее значения, то есть существуют такие точки 
и 
, что при всех выполняются неравенства 
и 
.
(В этом случае точка 
называется точкой минимума, а точка 
-- точкой максимума функции в области .)
Свойства 1) и 2) аналогичны свойствам функции одного переменного, непрерывной на замкнутом отрезке 
. Доказательство теоремы заинтересованный читатель сможет найти, например, в книге
Никольский С. М. Курс математического анализа, т. 1. -- M.: Наука, 1991. -- С. 285-286.
Функция 
непрерывна, но не ограничена в ограниченном, но незамкнутом круге 
. Докажите неограниченность, рассмотрев ограничение функции на диаметр круга, заданный условием 
.
Функция 
непрерывна на всей плоскости 
. Заметим, что плоскость не является ограниченным множеством. Эта функция ограничена, так как
и 
, принимает максимальное значение 1 в точке 
, но не имеет минимального значения:
могут быть как угодно близки к 0, однако в любой точке 
значение 
и, следовательно, ни в какой точке значение не равно 0.
непрерывна в связной области . Рассмотрим произвольные две точки 
и число 
, промежуточное между значениями 
и 
:
). Тогда в области обязательно существует такая точка 
, в которой 
, то есть функция принимает любое промежуточное значение в некоторой точке связной области . Доказательство. Соединим точки 
и 
непрерывным путём 
, 
, целиком лежащим в ; такой путь существует по предположению о связности области . Тогда 
и 
. Рассмотрим функцию одного переменного , равную композиции функции и вектор-функции 
:
и все функции 
, задающие координаты пути, непрерывны, то композиция 
также является непрерывной функцией. При этом
функции теорему о промежуточном значении (для функций одного переменного, в данном случае 
), получаем, что найдётся такое значение параметра , равное 
, для которого 
. Но это равенство означает в точности, что взяв 
, мы получим , что и требовалось.
не связна, то промежуточное значение непрерывная функция может и не принимать ни в одной точке области. Пусть, например, состоит из двух открытых полуплоскостей: левой, 
, и правой, 
(выше мы видели, что такая область не связна). Рассмотрим функцию 
в области ; эта функция тождественно равна 
в левой полуплоскости и тождественно равна 1 в правой полуплоскости. В любой точке области функция непрерывна, поскольку постоянна в некоторой круговой окрестности этой точки; поскольку область открыта, такая круговая окрестность, целиком содержащаяся в , существует для любой точки . Однако никакое промежуточное значение , такое что 
(например, 
), функция нигде не принимает.
