mathserfer.narod.ru

Теория по высшей математике

‹-- Назад

Частные производные

Пусть  -- внутренняя точка области , и в области задана функция . Рассмотрим ограничение функции на прямую , проходящую через точку параллельно оси . Эта прямая задаётся условиями при ; переменная может при этом произвольно меняться. Поэтому для рассматриваемого ограничения имеется естественная параметризация, смысл которой в том, что "замораживаются" все переменные, от которых зависит , кроме :

Получили функцию одного переменного , как параметризацию ограничения с помощью параметра .

Функция может иметь производную в точке , равную некоторому числу . Это число называют частной производной функции по переменной , вычисленной в точке . Эта частная производная обозначается или .

Сразу же заметим, что значения частных производных от функции в точке , вычисленные по разным переменным и , могут быть различными, так что обозначение типа , без указания переменной, по которой вычислена частная производная, не имеет смысла: в обозначении обязательно нужно указывать переменную, по которой мы дифференцируем.

Итак, чтобы вычислить частную производную от функции по некоторой переменной , нужно фиксировать значения всех переменных, кроме (то есть временно считать их постоянными), а затем по обычным правилам вычисления производных найти производную по этой единственной переменной . Теперь ясно, что для вычисления частных производных никаких новых правил дифференцирования вдобавок к тем, что известны нам для функций одной переменной, не потребуется, ведь при вычислении частной производной мы считаем, что может изменяться только одна переменная.

Считая точку , в которой вычисляется значение частной производной , переменной точкой области и предполагая, что во всех точках эта производная существует, мы получаем, что частная производная  -- это функция, заданная в области (или в её части, если производная существует не везде в ).

Поскольку частную производную функции можно вычислять по каждой из переменных , то функция имеет частных производных

Эти частные производные, вообще говоря, -- различные функции. Их называют также частными производными первого порядка от функции . Итак, функция переменных имеет частных производных первого порядка.

В соответствии с изученным в первом семестре смыслом производной функции одного переменного (напомним, что производная функции равна скорости изменения значений функции в точке ), cмысл частной производной  -- это скорость изменения значений функции при равномерном движении с единичной скоростью через точку по прямой , параллельной оси .

Геометрический смысл частной производной также становится ясен, если рассмотреть ограничение функции , полученное при фиксации значений всех переменных, кроме . Для наглядности ограничимся случаем функции двух переменных и . В этом случае мы можем изобразить график функции на чертеже в виде некоторой поверхности.

Отметим на плоскости точку , в которой вычисляется частная производная , и рассмотрим сечение графика вертикальной плоскостью ; она проходит на плоскости через прямую , заданную тем же уравнением . Тогда эта плоскость высекает в поверхности графика линию, служащую графиком функции . Функция  -- это функция одной переменной , и её производная в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику в точке . С другой стороны, . Значит, частная производная имеет геометрический смысл как тангенс угла наклона касательной к сечению графика вертикальной плоскостью .

Точно так же, частная производная имеет геометрический смысл как тангенс угла наклона касательной к сечению графика вертикальной плоскостью . Заметим, что плоскости и взаимно перпендикулярны.

Если функция одного переменного имеет производную в некоторой точке, то эта функция обязательно непрерывна в этой точке; этот факт мы изучили в первом семестре. В случае нескольких переменных ( ) дело обстоит не так. Даже наличия в некоторой точке частных производных функции по всем переменным не достаточно для того, чтобы функция была непрерывной в точке . Приведём пример такой функции двух переменных, что частные производные её сушествуют, а функция, тем не менее, разрывна.