‹-- Назад
Сравнение бесконечно больших величин
Пусть
-- некоторая база, и 
и 
-- функции, заданные на некотором окончании этой базы. В главе 2 мы изучали сравнение функций и при базе в случае, когда они является бесконечно малыми. Здесь же мы изучим сравнение бесконечно больших и .
-- бесконечно большие величины при базе . Они имеют один и тот же порядок роста при базе , если существует предел 
и имеют один и тот же порядок роста, обозначим так: 
, то бесконечно большие и называются эквивалентными при базе ; это обозначается так: 
имеет меньший порядок роста при базе , чем величина . Этот факт записывается так: 
имеет место соотношение 
имеет порядок роста, равный 
, относительно величины .
величины 
, 
, 
, 
, 
, 
-- бесконечно большие. При этом 
, 
, 
, 
, 
, 
имеет порядок 
относительно 
, 
имеет порядок 3 относительно и порядок 6 относительно , 
имеет порядок 4 относительно и порядок 
относительно . В качестве простого упражнения докажите упомянутые соотношения; легко увидеть между функциями 
, 
также много других соотношений.
рассмотрим функции 
(
) и 
(
). Покажем, что при всех таких 
и 
имеет место соотношение 
имеет меньший порядок роста при , чем растущая экспонента . Для этого рассмотрим предел 
. К этому пределу можно применить правило Лопиталя:
, то последний предел берётся от бесконечно малой и равен 0; если же 
, то правило Лопиталя можно применить ещё раз и, быть может, неоднократно. В конечном счёте получим 
(напомним, что через 
обозначается ближайшее целое число, не меньшее ). Поскольку 
, в числителе дроби стоит невозрастающая функция, а знаменатель стремится к 
, так что предел равен 0, что и требовалось получить.
имеет при больший порядок роста, чем 
, при любом 
, и, тем более, чем любой многочлен 
рассмотрим функции 
( 
) и 
(). Покажем, что при всех таких 
и имеет место соотношение 
, чем любая положительная степень 
. Для доказательства вычислим предел 
Поскольку это предел отношения двух бесконечно больших, можно применить правило Лопиталя:
при любом, как угодно малом имеет больший порядок роста при , чем любая, сколь угодно большая степень логарифма 
, (, 
).
степенные функции 
, , имеют тем больший порядок роста, чем больше значение .
при любом, как угодно малом имеет больший порядок роста при , чем любая, сколь угодно большая степень логарифма , (, ).
: а)
или 
? б)
или 
?
Эта функция непрерывна справа в точке 
. Найдём её производную справа в точке 0, сделав при этом замену 
: 
растёт быстрее 
при 
. Во всех остальных точках 
производная вычисляется с помощью правил дифференцирования:
это выражение имеет предел 
Таким образом, получили, что 
, то есть производная оказалась непрерывной справа в точке .
Из того, что функция 
-- нечётная, нетрудно найти, чему будет равна производная слева в точке 0 у функции , если её переопределить в нуле так, чтобы она оказалась непрерывной слева. У этой функции производная слева также будет существовать во всех точках 
, причём эта левая производная будет всюду непрерывна слева.
её производная равна, как нетрудно подсчитать, 
мы найдём производную, исходя из определения: 
, а затем сделали замену ). Легко видеть, что предел производной также будет равен 0: 
при 
растёт быстрее любой степени. Таким образом, 
-- функция, непрерывная на всей числовой оси: 
функция, и вообще, при любом номере 
производная 
имеет вид 
-- некоторый многочлен переменного 
. Легко видеть, что эта функция непрерывна при . Таким образом, мы получили важный пример функции, которая всюду имеет производные любого порядка, и при этом в точке 0 все эти производные равны 0, в то время как сама функция отлична от 0 при всех .
и непрерывны; при этом 
для любого 
.
