mathserfer.narod.ru

Теория по высшей математике

Частные производные высших порядков

Мы уже заметили, что частные производные первого порядка мы можем рассматривать, в предположении их существования, как функции, заданные в некоторой области пространства переменных . От каждой из этих функций , в свою очередь, можно найти частные производные: производных от :

Если , то есть если второе дифференцирование ведётся по той же переменной , что и первое, то частная производная второго порядка называется чистой частной производной второго порядка по переменной и более кратко обозначается .

Если же , то частная производная второго порядка называется смешанной частной производной второго порядка.

Итак, для функции можно отыскать чистых частных производных второго порядка и смешанных. Ниже мы увидим, что при некоторых дополнительных предположениях смешанные частные производные и , отличающиеся порядком дифференцирований, совпадают, так что различных смешанных производных второго порядка оказывается не , а вдвое меньше.

        Пример 7.13   Пусть

Найдём частные производные второго порядка. Для этого сначала найдём производные первого порядка:

Затем находим производные от :

производные от :

и производные от :

    

От любой из частных производных второго порядка можно рассматривать, в свою очередь, частные производные:

Если при вычислении частной производной высокого порядка некоторые дифференцирования проводятся по одной и той же переменной несколько раз подряд, то это отражается в обозначениях очевидным образом, например, означает то же самое, что

        Пример 7.14   Вычислим для функции из предыдущего примера.

Поскольку

имеем