mathserfer.narod.ru

Теория по высшей математике

Группы

        Определение 16.1   Группой называется непустое множество , на котором задана некоторая операция, обладающая следующими свойствами:

1. для любых выполнено
   
   (свойство ассоциативности);
2. существует такой элемент , , что для любого элемента , , выполнено
   
   (существование единицы или нуля);
3. для любого элемента , , существует такой элемент , , что
   
   (существование обратного элемента).

        

        Пример 16.2   Пусть  -- множество целых чисел. В качестве операции возьмем операцию сложения чисел. Тогда требования к операции записываются так:

1. ;
2. существует такое число , что для любого числа выполнено ;
3. для любого числа существует такое число , что .

Очевидно, что все три свойства для целых чисел выполнены, причем числом является число 0, а числом является число . Таким образом, множество целых чисел с операцией сложения является группой. Обозначается оно обычно .         

Множество рациональных чисел с операцией сложения и множество вещественных чисел с операцией сложения тоже являются группами. Предоставляем проверку этого факта читателю. Группа целых чисел является подгруппой группы рациональных чисел, которая в свою очередь является подгруппой группы вещественных чисел по сложению.

        Пример 16.3   Пусть  -- множество положительных вещественных чисел. В качестве операции " " возьмем операцию обычного умножения. Тогда требования к операции запишутся так:

1. ;
2. существует такое число , что для любого числа ;
3. для любого числа существует такое число , что .

Очевидно, что эти требования выполнены, причем , а . Таким образом множество положительных чисел с операцией умножения является группой.         

Множество вещественных чисел с операцией умножения группой не является. Действительно, если взять равным нулю, то нет такого числа , чтобы , так как . Множество же вещественных чисел, отличных от нуля, с операцией умножения является группой. Проверку этого факта предоставляем читателю.

        Пример 16.4   Множество из примера 16.1 с операцией " " является группой. Проверка ассоциативности потребует просмотра 9 троек , и т.д. Роль элемента выполняет элемент . Обратные элементы: , .         

Векторы на прямой, плоскости, в пространстве с операцией сложения также образуют группу.

Во всех разобранных примерах операция " " обладала свойством коммутативности: . Группа, в которой операция обладает таким свойством, называется коммутативной группой или абелевой группой по имени норвежского математика Н.Х.Абеля.

Если мы рассмотрим множество , состоящее из квадратных матриц порядка с ненулевым определителем и в качестве операции " " возьмем умножение матриц, то получим группу. Роль элемента выполняет единичная матрица , и для элемента , являющегося матрицей , элементом служит матрица . В этой группе, как мы видели в разделе "Умножение матриц", операция умножения некоммутативна. Такие группы называются некоммутативными.

В коммутативных группах операцию обычно называют операцией сложения и обозначают " ", элемент называют нулем группы и обозначают "0", хотя этот элемент, вообще говоря, числом не является. Элемент называют противоположным элементу и обозначают " ".

Если группа некоммутативная, то операцию называют умножением, называют единицей группы, а элемент  -- обратным элементом к и обозначают .

Исходя из требований к операции, данных в определении группы, можно доказать, что в любой группе элемент только один, что для любого элемента выполнено условие , что элемент для элемента определяется однозначно и что .

Теории групп посвящены обширные математические исследования. Они эффективно используются в различных областях математики. С помощью теории групп было, например, доказано, что корни многочлена степени выше четвертой нельзя выразить через конечную комбинацию элементарных функций от коэффициентов многочлена.