‹-- Назад
Дифференцируемость функции и дифференциал
Пусть функция 
задана в некоторой области 
, и 
-- внутренняя точка этой области. Пусть 
-- произвольная точка этой же области 
. Разность 
называется приращением аргумента ; 
, где 
. Разность значений функции 
называется приращением, или полным приращением функции 
в точке , соответствующим приращению аргумента 
; 
-- это функция от точки и приращения .
Предположим, что приращение функции можно представить в виде
где
-- некоторые числа. Подчеркнём, что эти числа не зависят от , но могут измениться, если сменить точку . Относительно величины 
мы предположим, что это функция, при базе 
являющаяся величиной большего порядка малости, чем 
. Это означает, если вспомнить определение бесконечно малой величины большего порядка малости относительно другой бесконечно малой, что
, если точка фиксирована. Условие большей малости последнего слагаемого (7.2) относительно означает, что эта линейная функция -- главная часть приращения функции.
называют дифференцируемой в точке , а линейную относительно функцию
в точке . Если функция является дифференцируемой в любой точке открытой области , то функцию называют дифференцируемой в области .
Таким образом, приращение 
дифференцируемой функции можно представить в виде суммы дифференциала 
, то есть линейной части приращения, и остатка 
, который имеет более высокий порядок малости, чем приращение :
функция является непрерывной в этой точке. Доказательство. Действительно, если 
, то стремятся к 0 все слагаемые дифференциала: они имеют вид 
; множитель 
не зависит от , то есть постоянен, а 
, поскольку 
Величина также стремится к 0, так как имеет даже больший порядок малости, чем . Значит, 
. Но условие 
как раз и означает, что 
при 
, то есть что функция непрерывна в точке .
