‹-- Назад

Кольца

В этом разделе мы будем предполагать, что на множестве заданы две различные операции. Одну из них мы назовем "сложением" и будем обозначать знаком "+", а другую будем называть "умножением" и записывать в виде или .

        Определение 16.2   Непустое множество , на котором заданы две операции: сложение и умножение, будем называть кольцом, если выполнены следующие требования:
  1. по отношению к операции сложения множество является абелевой группой;

  2. для любых из выполнено (ассоциативность умножения);
  3. для любых из выполнено , (дистрибутивность умножения);
        

Если умножение является коммутативной операцией, то кольцо называется коммутативным. Примерами коммутативных колец служат:

  1. множество целых чисел;
  2. множество вещественных чисел;
  3. множество многочленов;
  4. множество функций, непрерывных на отрезке .

Некоммутативным кольцом является множество квадратных матриц порядка с обычными операциями сложениия и умножения матриц.

Рассмотрим пример кольца, содержащего конечное число элементов.

        Пример 16.5   Пусть -- множество, содержащее элементов. Чтобы не вводить дополнительные обозначения, будем считать, что эти элементы являются числами 0, 1, 2,..., .

Обозначим , при , остаток от деления числа на число . Операцию сложения на множестве определим следующим образом: для любых , из

где в левой части стоит сложение на множестве , а в правой части под знаком стоит обычное сложение чисел.

Если взять , то по новому правилу сложения получим: , (число 5 делится на 5, остаток равен 0), (число 8 при делении на 5 дает в остатке 3).

Операцию умножения на множестве определим аналогично:

где в левой части стоит умножение на множестве , а в правой части, под знаком стоит обычное произведение чисел.

Если, как и раньше, взять , то по новому правилу умножения получим: , (число 6 делится на 5 с остатком 1), (число 12 делится на 5 с остатком 2).

Можно показать, что множество с введенными таким образом операциями является коммутативным кольцом. Обозначается оно обычно .

Если не является простым числом, то в кольце есть делители нуля. Например, в выполнено , так как число 12 делится на 6.         

Если в примере 16.1, указанную там операцию назвать сложением и обозначить знаком "+", а умножение определить так:

то получим кольцо . Элемент соответствует нулю, а элемент соответствует единице.

Исходя из определения кольца, можно доказать, что в нем выполняются привычные свойства умножения и сложения, то есть

и т. п.





Математика, вышка, высшая математика, математика онлайн, вышка онлайн, онлайн математика, онлайн решение математики, ход решения, процес решения, решение, задачи, задачи по математике, математические задачи, решение математики онлайн, решение математики online, online решение математики, решение высшей математики, решение высшей математики онлайн, матрицы, решение матриц онлайн, векторная алгебра онлайн, решение векторов онлайн, система линейных уравнений, метод Крамера, метод Гаусса, метод обратной матрицы, уравнения, системы уравнений, производные, пределы, интегралы, функция, неопределенный интеграл, определенный интеграл, решение интегралов, вычисление интегралов, решение производных, интегралы онлайн, производные онлайн, пределы онлайн, предел функции, предел последовательности, высшие производные, производная неявной функции

на главную
Hosted by uCoz