mathserfer.narod.ru

Теория по высшей математике

‹-- Назад

Связь дифференциала с частными производными

        Доказательство.     Рассмотрим приращения вида , где . Тогда и при . Поскольку , приращение функции имеет вид

Разделив обе части на и переходя к пределу при , получаем:

Второе слагаемое даёт 0, поскольку

по предположению о дифференцируемости.

Левая часть же даёт частную производную по , поскольку точка при приращении указанного вида находится на прямой, проходящей через точку параллельно оси . Значит,

Итак, доказали, что частная производная по существует, и

Совершенно аналогично доказывается существование частных производных по и равенства (7.3) при , если рассматривать ненулевые приращения лишь по какой-либо из остальных переменных.     

Итак, доказанная теорема позволяет записать дифференциал функции в виде

Эта формула выражает дифференциал через частные производные первого порядка.

Заметим, что если взять функцию равной какой-нибудь координате,

то, очевидно,

так что по формуле (7.4) получаем:

приращение координаты и её дифференциал совпадают. Поэтому формулу (7.4) можно записать в виде

где

Выше мы видели, что, во-первых, наличие частных производных функции в какой-либо точке не гарантирует непрерывности функции в этой точке, а во-вторых, что из дифференцируемости функции следует её непрерывность. Отсюда следует, что из возможности записать правую часть последней формулы ещё не следует существование левой части: функция может оказаться не дифференцируемой, даже если все частные производные существуют.

Однако имеет место следующая теорема, дающая достаточное условие дифференцируемости функции.

        Доказательство.     Пусть приращение аргумента таково, что точка принадлежит той окрестности точки , в которой существуют все частные производные. Преобразуем приращение функции при таком приращении аргумента:

Заметим, что все слагаемые в правой части (7.6), кроме первого и последнего, добавлены дважды с противоположными знаками, так что правая часть получена из левой тождественным преобразованием.

Пусть  -- ограничение функции на прямую , параллельную оси (через какую точку проходит прямая, будем каждый раз уточнять). Так как функция по предположению имеет производную по , то к ней можно применить теорему Лагранжа на отрезке между точками и (для определённости будем считать, что ):

где , то есть

По аналогичной причине, применение теоремы Лагранжа к функции на отрезке между и приводит к равенству

где (снова для определённости считаем, что ).

Применяя тот же приём по переменным и т. д.  и дойдя до переменной , получим в итоге:

Так как по предположению частная производная непрерывна в точке , то при будет (и, следовательно, ), то

где при (и, следовательно, при ).

Аналогично,

где при и (и, следовательно, при ); ...; наконец,

где при , , ..., (и, следовательно, при ) и

где при , , ..., , (то есть при ).

Используя полученные равенства, находим, что

Здесь первая группа слагаемых есть в точности . Осталось показать, что остаток

имеет больший порядок малости, чем , то есть проверить выполнение равенства

Образуем из величин вектор Так как при для всех , то и

Представим в виде скалярного произведения: . Поскольку , то

и

Отсюда следует, что

и доказательство теоремы завершено.     

Напомним, что уpавнение касательной плоскости к гpафику в точке имеет вид

С учётом вида диффеpенциала , получаем такое уpавнение касательной плоскости:

Таким обpазом, касательная плоскость -- это гpафик линейной функции , заданной фоpмулой

Разность между функцией и этой линейной функцией pавна

то есть имеет больший поpядок малости по сpавнению с . Поскольку, очевидно, pасстояние от точки гpафика до касательной плоскости не больше ,

то pасстояние от точки гpафика до касательной плоскости есть бесконечно малая величина большего поpядка малости по сpавнению с pасстоянием от точки гpафика до точки касания.