mathserfer.narod.ru

Теория по высшей математике

‹-- Назад

Многочлен Тейлора

Многочлен , наиболее подходящий (с некоторой точки зрения) для этой цели, называется многочленом Тейлора для данной функции; найдя его по заданной функции , мы сможем вместо сложного вычисления значений функции приближённо заменять это вычисление на вычисление значений многочлена¹⁶ .

Уточним теперь постановку задачи. Пусть функция определена в некоторой окрестности некоторой точки и имеет всюду в окрестности производные при . Многочленом Тейлора степени в точке называется такой многочлен степени , такой, что его значение и значение всех его производных, вычисленные в точке , равны соответствующим значениям функции и её производных до порядка в этой же точке:

Если это условие совпадения выполнено, то графики функций и , по крайней мере при , близких к , будут идти весьма тесно друг к другу. Равенство

означает, что графики проходят через одну и ту же точку ; равенство

означает, что эти графики имеют в этой общей точке совпадающие касательные (так как общее значение производной -- это общий угловой коэффициент касательной); равенство

означает, как мы убедимся ниже, что эти графики имеют в общей точке одинаковую кривизну, и т. д.

Для нахождения вида многочлена Тейлора для заданной функции сделаем сначала следующее замечание. Любой многочлен степени вида

можно представить в виде, расположенном по степеням бинома :

и наоборот, раскрыв скобки в последней формуле, мы можем получить многочлен по степеням .

Действительно, положив , мы можем подставить в правую часть формулы , раскрыть степени при по формуле бинома Ньютона, а потом привести подобные члены. Все коэффициенты (кроме ) и свободный член при этом изменятся на некоторые другие ( в нашей формуле), но получится многочлен по степеням бинома , имеющий ту же степень .

Итак, будем предполагать, что многочлен Тейлора мы ищем в виде

при некоторых коэффициентах , пока не известных. Отыщем значения этих коэффициентов Тейлора по значениям производных данной функции в точке .

Учтём требование к значению многочлена: . Подставив в равенство (Тейлор 1) , получим, что , так как все остальные слагаемые обратятся в 0. Тем самым

Учтём затем требование к значению первой производной многочлена: . Производная от равна

Подставив в равенство (Тейлор 2) значение , получим, что , так как снова все остальные слагаемые обратятся в 0. Отсюда

Следующее требование -- к значению второй производной многочлена: . Вторая производная от равна

Снова подставив в равенство (Тейлор 3) значение , получим, что , откуда

Далее нетрудно сообразить, что получится , откуда

и вообще,

при . Учитывая, что , , , , ..., последнюю формулу можно записать в виде

Итак, мы получили, что многочлен Тейлора для функции в точке имеет вид