‹-- Назад
Поля
Термин "кольцо с единицей" означает, что в кольце существет такой элемент 
, что для любого элемента 
выполнено 
и 
. Можно доказать, что элемент , если он существует, определяется однозначно. Обратным элементом к элементу называется такой элемент 
, что 
. Можно доказать, что при этом 
, и что элемент определяется однозначно. Обратный элемент к элементу обозначается 
.
Примерами полей служат множество рациональных чисел и множество вещественных чисел. Последнее обычно обозначается 
. Можно доказать, что кольцо 
также будет полем, если 
-- простое число. Например, при 
обратные элементы определяются так:
Еще один пример поля получим, если рассмотрим множество несократимых дробей вида 
, где 
и 
-- многочлены, причем коэффициент при старшей степени 
в многочлене равен единице. Сложение и умножение производится по обычным правилам сложения и умножения дробей, только в результате обязательно производится сокращение на общий множитель, если таковой имеется. Заметим, что многочлен может иметь нулевую степень, то есть являться обычным числом, многочлен тоже может быть числом, но в этом случае он обязательно равен 1.
Такое поле носит название поля дробно-рациональных функций.
В следующей главе мы рассмотрим еще один, очень важный, пример поля, а именно, поле комплексных чисел.
