‹-- Назад
Производная сложной функции
Пусть 
-- область в 
, в которой заданы 
функций 
, 
. Предположим, что все значения вектор-функции
, в которой задана функция 
. Тогда можно определить композицию (или сложную функцию) 
:
.
-- внутренняя точка области . Если в описанной ситуации функции имеют в точке частные производные 
по переменной 
, а функция 
имеет в точке 
частные производные 
по всем переменным 
, то сложная функция имеет в точке частную производную по , равную 
В частности, если 
и -- интервал вещественной оси 
и функции 
зависят от единственного переменного 
, то
Для доказательства достаточно выписать приращения функций и перейти к пределу при 
. В случае затруднений в таком упражнении читатель может найти подробное доказательство (в случае 
) в учебнике
Никольский С. М. Курс математического анализа, т. 1. -- М.: Наука, 1991. -- С. 263 - 264.
Производная 
от функции 
, вычисленная по формуле (7.8), называется полной производной от 
по , в отличие от частных производных от по промежуточным переменным 
.
зависят от 
следующим образом:
по переменным 
и 
, то есть производные композиции 
. Поскольку
 | |
 |
то по формуле (7.7) получаем:
 | |
 | |
 |
и
 | |
 | |
 |
