‹-- Назад

Остаток в формуле Тейлора и его оценка

Разность между функцией и её многочленом Тейлора называется -м остатком, или -м остаточным членом; обозначим этот остаток через :

Формула , в более развёрнутой форме имеющая вид

называется формулой Тейлора для функции в точке , а представление функции в таком виде -- её разложением по формуле Тейлора.

Если считать, что остаток мал, то его можно отбросить без большой погрешности; при этом получается приближённая формула

дающая возможность для приближённого нахождения значений функции .

Выясним, в каком смысле можно понимать "малость" остатка в формуле Тейлора, чтобы этой приближённой формулой мы могли пользоваться осмысленно.

        Теорема 6.1 (формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано)   Пусть  -- остаток в формуле Тейлора для функции в точке , и функция имеет непрерывную -ю производную. Тогда  -- бесконечно малая величина того же или большего порядка малости, как , при . (Остаточный член , о котором известны эти сведения о порядке малости, называется остаточным членом в форме Пеано.)

        Доказательство.     Утверждение теоремы означает, что существует

При остаток будет иметь тот же порядок малости, что , а при  -- больший порядок малости. Итак, вычислим предел:

   
   

Применим к этому пределу правило Лопиталя, повторив этот приём раз:

   
   
   
   
   

Последний предел мы вычислили прямой подстановкой, поскольку по предположению  -- непрерывная функция. Существование предела доказывает утверждение теоремы.     

Доказанная теорема утверждает, что при малых отклонениях от значения будут отклоняться от не более чем на величину -го порядка малости относительно разности , что даёт нам уверенность в том, что замена на многочлен Тейлора будет давать очень хорошее приближение, и это приближение будет улучшаться, если мы будем увеличивать значения . Однако доказанная теорема не даёт нам оценки остатка . Этот пробел устраняет следующая теорема.

        Теорема 6.2 (остаток в формуле Тейлора в форме Лагранжа)   Пусть при всех существует -я производная . Тогда для любого существует точка , лежащая между и (то есть при ), такая что

(Остаточный член формулы Тейлора, представленный в таком виде, называется остаточным членом в форме Лагранжа.)

        Доказательство.     Это доказательство не столь прямолинейное, как в предыдущей теореме. Рассмотрим вспомогательную функцию переменного , изменяющегося в рассматриваемой окрестности точки . Эта функция будет зависеть также от параметра :

Подберём такое значение параметра , равное , чтобы при функция обращалась в 0: . Фиксируем такое значение .

Тогда функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля на отрезке (или , если ): , что очевидно по определению функции ; согласно выбору параметра; дифференцируемость на и непрерывность в точках и следуют из предположенных свойств функции . По теореме Ролля существует такая точка , что

Однако нетрудно подсчитать, находя производные произведений в определении функции , что

   
   

Все слагаемые в начале правой части, включая обозначенные многоточием, взаимно уничтожаются, так что получаем

Подстановка даёт

откуда следует, что

Теперь вспомним, что значение параметра мы выбрали так, что . Подставив найденное значение в выражение для , получим:

   
   

Отсюда получаем, наконец,

что и требовалось доказать.     

        Замечание 6.1   Полученную в предыдущей теореме оценку остатка удобно применять для оценки погрешности при замене функции её многочленом Тейлора, если известно, что -я производная при всех из рассматриваемого интервала ограничена по абсолютной величине некоторым числом:

Тогда

и при каждом фиксированном мы можем узнать оценку погрешности приближённой формулы .     

        Замечание 6.2   Мы всюду подчёркивали, что приближённая формула имеет место только при малых значениях отклонения . Надежды на то, что при увеличении интервал, на котором можно будет применять с заданной точностью эту приближённую формулу, будет расширяться, вообще говоря, не оправдываются. Для пояснения сказанного приведём пример.

Пусть рассматривается функция , доопределённая при по непрерывности: . Ранее мы уже рассматривали эту функцию и выяснили, что все её производные существуют на всей оси и при равны 0: при всех . Это означает, что при любом порядке многочлена Тейлора все его коэффициенты равны 0, и формула Тейлора сводится к равенству . Таким образом, любой остаток в формуле Тейлора для этой функции в точке 0 равен одному и тому же, а именно, самой функции ! Поэтому уменьшить остаток за счёт увеличения здесь никак не возможно: единственным приближением, которое формула Тейлора даёт для функции , здесь служит тождественный 0.     





Математика, вышка, высшая математика, математика онлайн, вышка онлайн, онлайн математика, онлайн решение математики, ход решения, процес решения, решение, задачи, задачи по математике, математические задачи, решение математики онлайн, решение математики online, online решение математики, решение высшей математики, решение высшей математики онлайн, матрицы, решение матриц онлайн, векторная алгебра онлайн, решение векторов онлайн, система линейных уравнений, метод Крамера, метод Гаусса, метод обратной матрицы, уравнения, системы уравнений, производные, пределы, интегралы, функция, неопределенный интеграл, определенный интеграл, решение интегралов, вычисление интегралов, решение производных, интегралы онлайн, производные онлайн, пределы онлайн, предел функции, предел последовательности, высшие производные, производная неявной функции

на главную
Hosted by uCoz