‹-- Назад

О "неберущихся" интегралах

При вычислении производной, наличие формул для производной суммы, разности, произведения, частного и композиции -- всех тех операций, при помощи которых элементарные функции образуются из минимального набора -- приводит к тому, что производная любой элементарной функции снова является элементарной функцией. При нахождении неопределённых интегралов, однако, формул для первообразной произведения, частного и композиции нет. Это приводит к такому положению, что отнюдь не для любой элементарной подынтегральной функции можно "взять интеграл", то есть выразить некоторую первообразную для подынтегральной функции в виде некоторого выражения, использующего лишь элементарные функции. Дело не в том, что пока что не придумано способа это сделать, а в принципиальной невозможности: никакая из первообразных в случае "неберущегося" интеграла никаким образом не может быть выражена как комбинация элементарных функций, связанных знаками арифметических действий и знаками композиции. Не следует думать, что если такое представление невозможно, то и функции такой нет1: можно считать, что для её выражения просто не хватает запаса рассматриваемых операций или запаса рассматриваемых исходных функций, и их надо расширить, то есть выйти за рамки множества функций, называемых элементарными2. В науке и её приложениях в технике, экономике и других дисциплинах применяются многие неэлементарные функции; часто их называют специальными. К специальным функциям относятся и многие первообразные для элементарных функций, причём часто не столь уж "сложной" структуры. Интегралы, выражающиеся через такие первообразные, называются (по традиции, берущей начало в 18 веке) неберущимися. Итак, интеграл не берётся, если функция не является элементарной. Приведём примеры неберущихся интегралов и названия первообразных -- специальных функций, связанных с этими интегралами.

        Пример 1.8   Неберущимся является интеграл

Здесь одна из первообразных, которую мы обозначили , выделяется из всего набора первообразных условием . Функция называется функцией Лапласа. Она широко применяется в теории вероятностей, физике, математической и прикладной статистике и других разделах науки и её приложений. Для вычисления значений функции Лапласа составлены таблицы, имеющиеся во многих учебниках, задачниках и справочниках по теории вероятностей и статистике. Возможность вычисления предусмотрена также на многих моделях калькуляторов (не самых дешёвых) и уж, обязательно, на тех, что предназначены для статистической обработки числового материала. Так что, с практической точки зрения, пользоваться функцией Лапласа ничуть не сложнее, чем, скажем, синусом, арктангенсом или натуральным логарифмом, которые мы условно относим к элементарным функциям.     

        Пример 1.9   Не берётся также интеграл

Доопределим подынтегральную функцию , полагая её равной 1 при . В соответствии с тем, что , доопределённая функция будет непрерывна на всей числовой оси. Среди её первообразных выделим ту, для которой . Эта неэлементарная функция называется интегральным синусом и обозначается . Именно её мы использовали в приведённой выше формуле.     

        Пример 1.10   Ещё один неберущийся интеграл:

Одна из первообразных -- та, что мы использовали в правой части и обозначили  -- называется интегральным косинусом.     

        Пример 1.11  

--

это тоже неберущийся интеграл. Одна из первообразных, которую мы обозначили , -- специальная функция, называющаяся интегральной экспонентой.     

        Пример 1.12   Не берётся интеграл

(при 

одна из первообразных, , называется интегральным логарифмом.     

Используя специальные функции, заданные предыдущими примерами, мы с помощью изученных выше правил интегрирования можем выражать через эти функции и другие интегралы. Приведём такой пример.

        Пример 1.13   Выразим через функцию Лапласа следующий интеграл:

Для этого сделаем замену переменного :

   
   

Заметим, что та первообразная для , для которой , обозначается . Функция называется в теории вероятностей и статистике функцией ошибок.     

        Упражнение 1.3   Выразите функцию ошибок через функцию Лапласа и наоборот, функцию Лапласа через функцию ошибок.     

        Пример 1.14   К интегралу предыдущего примера можно свести и тем самым выразить через функцию Лапласа, например, такой интеграл:

   
   

Для вычисления мы применили формулу интегрирования по частям.     

        Пример 1.15   Вычислим интеграл от интегральной экспоненты . Заметим, что по определению первообразной. Применяя формулу интегрирования по частям, получаем:

   
   

    

Кроме приведённых выше, в приложениях встречаются и многие другие неберущиеся интегралы, например:

Эти четыре интеграла называются интегралами Френеля.

        Упражнение 1.4   Сделав соответствующую замену переменного, выразите последние два из интегралов Френеля через функции и , которые стоят в правых частях первых двух интегралов Френеля.     

Не берутся также интегралы

и многие другие.

Тем не менее, для многих классов интегралов, наиболее часто встречающихся в приложениях, первообразную всё же удаётся выразить через элементарные функции. В следующей главе мы изучим такие классы интегралов.

        Упражнение 1.5   С помощью соответствующих замен переменного, докажите следующие соотношения:

    (при  (при 

(на самом деле функции и определяются так, что обе постоянные равны 0).     





Математика, вышка, высшая математика, математика онлайн, вышка онлайн, онлайн математика, онлайн решение математики, ход решения, процес решения, решение, задачи, задачи по математике, математические задачи, решение математики онлайн, решение математики online, online решение математики, решение высшей математики, решение высшей математики онлайн, матрицы, решение матриц онлайн, векторная алгебра онлайн, решение векторов онлайн, система линейных уравнений, метод Крамера, метод Гаусса, метод обратной матрицы, уравнения, системы уравнений, производные, пределы, интегралы, функция, неопределенный интеграл, определенный интеграл, решение интегралов, вычисление интегралов, решение производных, интегралы онлайн, производные онлайн, пределы онлайн, предел функции, предел последовательности, высшие производные, производная неявной функции

на главную
Hosted by uCoz