‹-- Назад
Равенство смешанных частных производных
Ранее мы отмечали, что при некоторых дополнительных предположениях частные производные высших порядков, отличающиеся лишь порядком дифференцирований, совпадают. Теперь мы уточним эти предположения и сформулируем утверждение о равенстве смешанных производных. Оказывается, достаточно предположить непрерывность этих смешанных производных.
задана в области 
, причём в некоторой окрестности 
( 
) точки 
существуют смешанные частные производные
и 
. Тогда эти смешанные производные совпадают в точке :
Доказательство. Пусть 
и 
-- единичные базисные векторы в 
вида 
, где 1 стоит, соответственно, на 
-м и 
-м местах. Пусть 
и 
(для определённости будем далее считать, что 
и 
). Рассмотрим приращения
и 
и 
достаточно малы, так что точка 
лежит в окрестности . Положим
и 
 | |
 |
и
 | |
 |
Полученные разности
и 
тождественно равны друг другу. Применим к первой из них теорему Лагранжа на отрезке 
по переменной 
:  | |
 |
где
-- некоторая промежуточная точка. Аналогично, применяя ко второй из разностей, , теорему Лагранжа на отрезке 
по переменной 
, получаем  | |
 |
где
-- некоторая промежуточная точка. (Попутный вопрос к читателю: почему к функциям 
и 
можно было применять теорему Лагранжа, и почему получились именно такие выражения, как написано выше?) К получившимся в правых частях разностям частных производных
, и
, и, следовательно,
и , то на 
можно левую и правую части поделить и получить
и 
величины 
и 
стремятся к 0. Поэтому, переходя к пределу при и в обеих частях последнего равенства, получаем
. Итак, теорема доказана. Из доказанной теоремы вытекает такое следствие:
:
, непрерывны в точке и отличаются только порядком дифференцирований, то есть если списки номеров переменных 
и 
состоят из равных количеств каждого из чисел 
. Предположим также, что все частные производные меньшего порядка 
есть часть списка , также определены в окрестности точки и непрерывны в этой точке. Тогда смешанные производные 
и 
принимают равные значения в точке :
Доказательство. Для доказательства этого следствия воспользуемся методом "пузырьковой сортировки": будем переставлять, пользуясь доказанной теоремой и проверяя списки номеров переменных слева направо, те соседние дифференцирования в производных и , в которых 
или 
.
В результате конечного числа таких перестановок, оба значения 
и 
окажутся равными значению одной и той же смешанной частной производной
. Следовательно, совпадают числа и , что и требовалось доказать.
, мы можем записать её в виде
и 
. (Если 
, то соответствующий "множитель" в "знаменателек мы не пишем, а вместо 
пишем просто 
.)
и 
и отличаются лишь порядком перечисления номеров. Значит, частные производные отличаются лишь порядком дифференцирований, и поэтому
В этом примере перестановки дифференцирований можно выполнить в следующем порядке:
 | |
 | |
 |
При первой и четвёртой перестановках переставляемые диффиеренцирования -- внешние и выполняются непосредственным применением теоремы к функциям
и 
соответственно; эти производные третьего порядка предполагаются непрерывными. При остальных перестановках переставляются внутренние дифференцирования. При этом, например, при второй перестановке, рассуждаем так: имеем равенство
и 
непрерывны по предположению, так как содержат меньше дифференцирований по 
и 
, чем исходные производные пятого порядка, и столько же дифференцирований по остальным переменным. Поэтому
