mathserfer.narod.ru

Теория по высшей математике

‹-- Назад

Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования

Используя оценку остаточного члена в форме Лагранжа, можно провести анализ погрешности в формулах приближённого дифференцирования, предполагая шаг малым.

Пусть функция разложена по формуле Тейлора, с остаточным членом в форме Лагранжа, в точке . Положим , тогда

Отсюда

где

погрешность формулы приближённого дифференцирования, получающаяся при замене на разностную производную .

Следовательно,

где

Как правило, заранее известна более грубая оценка для на некотором отрезке , включающем в себя :

и не зависит от и . Тогда

из этой оценки и определяют погрешность вычислений при данном шаге .

Аналогично, можно получить оценку погрешности для разностной производной вида

Ошибку при замене на это отношение можно оценить исходя из разложения в точке по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа порядка 3:

где . Подставляя сюда вместо , получаем:

где . Вычтем из первой формулы вторую:

Отсюда

Если теперь предположить, что

то оценка погрешности получится такая:

Подробнее о вопросах численного дифференцирования, в том числе и об оценках возникающих при этом погрешностей, можно прочитать в книгах по методам вычислений, например: [Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М., Численные методы. -- М.: Наука, 1987] или [Березин И. С., Жидков Н. П., Методы вычислений. Том 1. -- М.: Наука, 1966].

---