‹-- Назад
Теорема о неявной функции
-- открытое множество в пространстве 
(то есть точки области обозначаются 
, где 
и 
). Пусть 
и в заданы 
функций 
( 
), таких что 
, причём все функции 
и все их частные производные 
и 
( 
; 
) непрерывны в . Рассмотрим квадратную матрицу из частных производных функций по переменным 
, вычисленным в точке 
:
(где 
) существуют и единственны функции 
, непрерывные и имеющие непрерывные частные производные 
в шаре 
, такие что
, 
, где 
. Рассмотренная квадратная матрица 
, составленная из производных функций по переменным , называется матрицей Якоби вектор-функции 
по переменным 
и часто обозначается 
или просто 
. Её определитель 
называется якобианом вектор-функции 
по переменным 
.
Утверждение теоремы означает, что векторное равенство 
задаёт, при выполнении предположения теоремы, некоторую вектор-функцию 
, такую что 
, то есть из условия можно выразить через 
, если якобиан от по не равен 0. При этом говорят, что уравнение неявно задаёт функцию .
Доказательство сформулированной теоремы, ввиду его значительного объёма, мы не приводим здесь. Читатель может найти его в учебнике
Никольский С. М. Курс математического анализа, т. 1. -- М.: Наука, 1991. -- С. 304 - 308.
Отметим, что эта теорема содержательна и нетривиальна уже при 
и 
. Тогда её можно сформулировать так:
двух переменных 
определена и непрерывна в некоторой окрестности 
точки 
, причём 
и 
, то существует такая функция 
, определённая хотя бы в малой окрестности 
точки 
, что при всех 
. При этом функция 
имеет непрерывную производную при . 
Отметим также, что важнейшим условием в теореме является требование невырожденности матрицы Якоби; в одномерном случае (то есть при
) оно сводится к выполнению неравенства
, то заключение теоремы может оказаться неверным, как показывает следующий пример.
). Это уравнение не задаёт никакой функции , поскольку множество 
состоит из одной точки 
и поэтому не может быть графиком функции на некотором интервале оси 
, содержащем точку 
: множество 
"слишком мало", чтобы быть графиком. Однако условие теоремы о неявной функции для такой функции не выполнено:
Вот ещё один пример, в котором, напротив, множество "слишком велико", чтобы быть графиком:
также не задаёт никакой функции . Действительно, в этом случае множество -- это объединение двух прямых 
и 
. 
В окрестности начала координат это множество не является графиком никакой функции, поскольку каждому
соответствует не одно, а два значения : и . В этом примере снова, однако, не выполняется требование невырожденности якобиана:
