‹-- Назад
Изображение комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа
Рассмотрим на плоскости декартову прямоугольную систему координат
. Каждому комплексному числу 
можно сопоставить точку с координатами 
, и наоборот, каждой точке с координатами 
можно сопоставить комплексное число 
. Таким образом, между точками плоскости и множеством комплексных чисел устанавливается взаимно однозначное соответствие. Поэтому комплекные числа можно изображать как точки плоскости. Плоскость, на которой изображают комплексные числа, обычно называют комплексной плоскостью.
, 
, 
, 
, 
:
Однако чаще комплексные числа изображают в виде вектора с началом в точке 
, а именно, комплексное число изображается радиус-вектором точки с координатами . В этом случае изображение комплексных чисел из предыдущего примера будет таким:
Отметим, что изображением суммы двух комплексных чисел 
, 
является вектор, равный сумме векторов, изображающих числа и . Иными словами, при сложении комплексных чисел складываются и векторы, их изображающие (рис. 17.3).
Пусть комплексное число изображается радиус-вектором. Тогда длина этого вектора называется модулем числа и обозначается 
. Из рисунка 17.4 очевидно, что
Угол, образованный радиус-вектором числа с осью 
, называется аргументом числа и обозначается 
. Аргумент числа определяется не однозначно, а с точностью до числа, кратного 
. Однако, обычно аргумент указывают в диапазоне от 0 до или в диапазоне от 
до 
. Кроме того у числа 
аргумент не определен.
На рис. 17.4 равен углу 
. Из того же рисунка очевидно, что
или
причем первая формула действует, если изображение числа
находится в первой или четвертой четверти, а вторая, если -- во второй или третьей. Если 
, то комплексное число изображается вектором на оси 
и его аргумент равен 
или 
. Получим еще одну полезную формулу. Пусть . Тогда 
,
, 
, 
, 
, 
. Решение. Запишем числа со строгим указанием действительной и мнимой части:
и записать 
.
