mathserfer.narod.ru

Теория по высшей математике

Экстремум функции и необходимое условие экстремума

Напомним определение локального экстремума функции.

        Определение 7.4   Пусть функция определена в некоторой окрестности , , некоторой точки своей области определения. Точка называется точкой локального максимума, если в некоторой такой окрестности выполняется неравенство ( ), и точкой локального минимума, если .     

Понятия локальный максимум и локальный минимум объединяются термином локальный экстремум.

Следующая теорема даёт необходимое условие того, чтобы точка была точкой локального экстремума функции .

        Теорема 7.4   Если точка  -- это точка локального экстремума функции , и существует производная в этой точке , то .

Доказательство этой теоремы сразу же следует из теоремы Ферма (см. гл. 5).    

Утверждение теоремы можно переформулировать так:

если функция имеет локальный экстремум в точке , то либо
1) , либо
2) производная не существует.

Точка называется критической точкой функции , если непрерывна в этой точке и либо , либо не существует. В первом случае (то есть при ) точка называется также стационарной точкой функции .

Итак, локальный экстремум функции может наблюдаться лишь в одной из критических точек этой функции.

        Пример 7.18   Рассмотрим функцию . Её производная существует при всех и равна . Следовательно, все критические точки -- стационарные и задаются уравнением . Это уравнение можно записать в виде ; оно имеет единственный корень : это единственная стационарная точка. Записав функцию в виде , легко увидеть, что в стационарной точке функция имеет минимум, равный .     

Рис.7.21.График функции

        Пример 7.19   Рассмотрим функцию . Как и в предыдущем примере, производная существует при всех ; она равна . Все критические точки функции -- стационарные; таких точек три: .

Записав функцию в виде , легко увидеть, что в точках функция имеет минимум, так как в этих точках выражение обращается в 0, и

Если же мы запишем функцию в виде , то убедимся, что точка  -- точка локального максимума, поскольку при малых выражение положительно, и

    

Рис.7.22.График функции

        Пример 7.20   Рассмотрим функцию . Производная этой функции существует при всех , кроме : при и ; при и . Значит, единственная критическая точка -- та, в которой производная не существует, то есть . В этой точке, как легко видеть, имеет минимум.     

        Пример 7.21   Рассмотрим функцию

Заметим, что функция непрерывна при всех . Её производная равна

при и не существует при . Значит, единственная критическая точка функции -- это . Поскольку при и , то  -- точка минимума.     

Рис.7.23.График функции

Не следует думать, что любая критическая точка функции даёт либо локальный максимум, либо локальный минимум. В некоторых критических точках экстремума может не оказаться вовсе.

        Пример 7.22   Рассмотрим функцию . Её производная равна

она существует при всех . Уравнение имеет решение  -- это единственная критическая точка функции . Однако не является точкой локального экстремума, поскольку при всех и при всех .     

Рис.7.24.График функции

Пусть требуется отыскать максимальное и минимальное значения функции , непрерывной на замкнутом отрезке . Согласно сказанному выше, если точка экстремума (максимума либо минимума) -- это внутренняя точка отрезка, то эта точка обязана быть критической. Следовательно, точка экстремума на  -- это либо критическая точка, либо один из концов отрезка.

Отсюда следует такой способ поиска максимума и минимума функции на : надо найти список "подозрительных" точек, включив в него: а) концы отрезка, то есть точки и ; б) стационарные точки, то есть все решения уравнения ; в) критические точки, не являющиеся стационарными, то есть те точки отрезка, в которых функция непрерывна, но производная не существует. Как правило, в этот список "подозрительных" точек входит конечное число точек. Во всех этих точках можно вычислить значение функции; максимальное и минимальное значение функции на отрезке будут содержаться в этом наборе значений, и их можно будет легко отыскать, а заодно установить и те значения , при которых эти экстремальные значения достигаются.

        Пример 7.23   Найдём наибольшее и наименьшее значения функции

на отрезке .

Имеем: . Производная существует при всех , так что все критические точки функции являются стационарными, а стационарные точки задаются уравнением . Это квадратное уравнение имеет корни и ; первый корень не попадает на расматриваемый отрезок , а второй попадает. Поэтому список "подозрительных" точек таков: (оба конца отрезка и стационарная точка).

Вычисляем значения функции во всех точках списка:

Поэтому