mathserfer.narod.ru

Теория по высшей математике

‹-- Назад

Приближённое нахождение первообразных

Пусть на интервале задана непрерывная функция , для которой нужно найти первообразную . Согласно определению первообразной, для этого нужно решить уравнение

найдя неизвестную функцию . Относительно этой неизвестной функции уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка. Его можно приближённо решать разными способами, которые вы будете изучать в курсе дифференциальных уравнений. Опишем здесь простейший из них, называемый методом Эйлера.

Из всего семейства первообразных будем отыскивать ту первообразную, которая в некоторой фиксированной точке принимает фиксированное значение . Это условие выделяет из семейства первообразных одну функцию: все остальные первообразные отличаются от этой фиксированной первообразной на постоянное слагаемое и, следовательно, не удовлетворяют условию .

Заметим, что из уравнения (1.6) следует, что

найденный дифференциал равен главной линейной части приращения функции:

откуда

Здесь мы учли начальное условие . Тем самым, взяв некоторое приращение независимого переменного , равное , мы сможем приближённо найти значение первообразной в "соседней" точке :

Начав аналогичные вычисления с точки вместо , получаем

где ; затем точно так же получаем

где , и т. д. По найденным в известных точках , , приближённым значениям первообразной мы можем построить график функции (разумеется, приближённо, поскольку значения известны лишь приближённо). Выбирая , мы построим этот график при , то есть на , а повторив процесс при , построим часть графика на .

Заметим, что шаг по оси , то есть величину , не обязательно выбирать одинаковым на всех этапах: может зависеть от номера этапа . Рекомендуется учитывать при этом выборе поведение функции и уменьшать шаг , если значения увеличиваются, и увеличивать , если значения уменьшаются, чтобы величины приращений были бы примерно одинаковы по абсолютной величине. Это даст возможность более точно построить график первообразной .

Более подробно о методах приближённого решения дифференциального уравнения (1.6), не только о методе Эйлера, но и о других, более эффективных, вы можете прочитать, например, в книгах:

1. Амосов А. А., Дубинский Ю. А., Копченова Н. В., Вычислительные методы для инженеров. -- М., Высш. шк., 1994;

2. Ортега Дж., Пул У., Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. -- М., Наука, 1986.