‹-- Назад
Свойства градиента и производной по направлению
Напомним, что для скалярного произведения 
двух векторов 
и 
выполнеяется равенство
-- угол между векторами и . Записав это равенство для векторов 
и 
, получим, что
-- угол между осью 
и вектором 
, поскольку 
. Учитывая, что 
, получаем:
, а 
может изменяться от 
до 1, получаем, что своё максимальное значение 
производная по направлению 
принимает при 
(когда 
), то есть при условии, что направление оси совпадает с направлением градиента. Минимальное значение производной по направлению, равное 
, получается при 
(когда 
), то есть при оси , направленной противоположно вектору 
. Заметим также, что 
, если ось направлена перпендикулярно вектору : тогда 
и 
. Верно и обратное: если 
, то , только если ось направлена перпендикулярно вектору .
Поскольку значение можно, соответствующим образом выбрав угол , сделать равным любому числу из отрезка 
, то значение производной по направлению принимает любые значения на отрезке 
задана в некоторой области пространства 
, 
. Поверхность в пространстве , определённая уравнением 
, где 
-- постоянная, называется поверхностью уровня функции . Если 
, то множество, заданное уравнением 
, называется линией уровня.
задана функция
Тогда при 
её линия уровня представляет собой пустое множество, так как при всех 
верно неравенство
При 
линия уровня состоит из одной точки 
, так как равенство
. При 
уравнение
и полуосями 
и 
, поскольку при уравнение можно записать в виде
При увеличении
полуоси и увеличиваются пропорционально друг другу, так что эксцентриситеты всех эллипсов совпадают.
эта плоскость сдвигается, так что при разных значениях 
и 
поверхности уровня -- плоскости
и 
Заметим, что если функция задана в области 
, то через каждую точку 
области проходит некоторая поверхность уровня (а именно, поверхность уровня 
). Поверхности уровня, соответствующие разным значениям , не пересекаются друг с другом. (Действительно, если бы поверхности 
и 
, где 
, пересекались в некоторой точке , то функция 
принимала бы в точке , с одной стороны, значение , а с другой стороны -- значение 
, что невозможно.)
Итак, при передвижении точки 
по поверхности уровня функции значения не изменяются. Если поверхность уровня представляет собою плоскость 
, то вдоль любой оси , лежащей в этой плоскости, производная по направлению 
будет равняться 0, так как во всех точках оси функция принимает одно и то же значение . Значит, вектор 
, вычисленный в любой точке этой плоскости, ей перпендикулярен.
Так же обстоит дело и в случае, когда поверхность уровня -- это не обязательно плоскость (но произвольная поверхность): в этом случае градиент оказывается перпендикулярным к касательной плоскости, проведённой к этой поверхности уровня.
Наводящие соображения при этом таковы. Во всех точках поверхности 
значение функции постоянно и равно . Рассмотрим поверхность близкого уровня 
: 
. Тогда разность значений функции в точках поверхностей 
и 
постоянна и равна 
. Рассмотрим произвольную ось , проходящую через точку . Эта ось пересекает поверхность в некоторой точке 
.
Тогда
.) Пусть для простоты 
. При постоянном последняя дробь принимает наибольшее значение, если знаменатель минимален, то есть точка 
-- ближайшая к поверхности . Очевидно, что такая точка должна лежать на перпендикуляре к касательной плоскости 
, проведённой к в точке , то есть 
. С другой стороны, направление, в котором производная максимальна -- это направление вектора . Значит, направление вектора перпендикулярно касательной плоскости , что и требовалось получить.
Более точную формулировку даёт следующая
дифференцируемой функции ( 
) такова, что в точке 
можно провести к касательную плоскость (размерности 
). Тогда вектор перпендикулярен плоскости . Доказательство. Если 
, то утверждение теоремы верно. Предположим теперь, что . Значит, хотя бы одна из компонент градиента отлична от 0; предположим для определённости, что это 
. Тогда, согласно теореме о неявной функции, из уравнения
можно выразить через остальные переменные 
, по крайней мере в некоторой окрестности точки 
:
поверхность можно представить как график функции , которая зависит от переменного и задана в некоторой окрестности точки 
. Касательная плоскость к поверхности задаётся тогда уравнением
вычисляются так:
и перенося все слагаемые в левую часть, можем записать уравнение касательной плоскости в виде
, то есть вектору
в виде 
где
-- точка касания. Это уравнение можно также записать в виде
означает скалярное произведение. При этом следует иметь в виду, что любую поверхность, заданную уравнением
для функции .
задана уравнением
(это эллипсоид с центром в начале координат и полуосями 
, 
, 
). Возьмём на эллипсоиде точку 
(проверьте, что она лежит на эллипсоиде!) и найдём уравнение касательной плоскости в этой точке. Поскольку для функции
служит поверхностью уровня 
, то можно применить формулу (8.2). Частные производные равны:
