‹-- Назад
Вывод формулы Тейлора
Предположим, что в рассматриваемой области
функция 
имеет все частные производные до порядка 
включительно. Рассмотрим прямую 
, соединяющую фиксированную внутреннюю точку 
с произвольной точкой 
и будем предполагать, что все точки отрезка, соединяющего 
с 
, также принадлежат 
:
при 
на прямую (точнее, на её часть, лежащую в пределах области ) и параметризуем это ограничение параметром 
. Полоучим функцию одного переменного :
можно применить обычную (приведённую выше) формулу Тейлора в точке 
:  |
где
-- некоторая точка отрезка между 0 и . Если 
, то также принадлежит отрезку 
. Отсюда при 
получаем 
где
. Очевидно, что 
. Посмотрим, как производные
. Для нахождения 
воспользуемся формулой производной сложной функции:
 | |
 | |
 | |
 |
При
получаем  | (9.2) |
 | (9.3) |
Вычислим теперь 
, для чего найдём 
:
 | |
 | |
 | |
 |
Положив в этой формуле
, получаем: 
Каждое последующее дифференцирование, как нетрудно понять, будет увеличивать на единицу количество суммирований от 1 до 
, порядок частных производных функции , вычисленных в точке , а также количество сомножителей-биномов вида 
. Для третьей производной получаем
 |
а для производной порядка
-- 
Правая часть формулы (9.5) содержит
слагаемых, в каждом из которых множитель. Точно так же выписывается и выражение, задающее 
: 
где
. Подставляя выражения (9.2), (9.4),..., (9.5), (9.6) в правую часть формулы (9.1), получаем в результате следующее утверждение:
задана в области и имеет в все частные производные до порядка включительно. Пусть и -- две точки области , такие что весь отрезок между ними целиком лежит в . Тогда для некоторой точки 
этого отрезка имеет место равенство  | (9.6*) |
 | |
 | |
 | (9.7) |
Сумма всех слагаемых в правой части формулы (9.6*), кроме записанных в последней строке, называется многочленом Тейлора функции в точке , а эта последняя строка содержит остаточный член формулы Тейлора. Считая его малым при небольших расстояниях между и (он имеет порядок 
, в то время как все остальные слагаемые -- порядок не выше 
, если не обращаются в 0), мы можем не учитывать остаточный член и, тем самым, получаем приближённую формулу
 | |
 | |
 |
содержащую лишь значения функции
и её частных производных, вычисленные в точке (но не в других точках ). Эту формулу можно использовать для приближённого вычисления значений функции в точках , близких к . На практике её применяют, ввиду большого числа слагаемых в правой части, лишь при небольших значениях , как правило, 
и 
. При получается линейное приближение функции (нетрудно видеть, что правая часть совпадает с линейной функцией 
, графиком которой служит касательная плоскость, проведённая при 
к графику функции 
):
 |
При получается квадратичное приближение функции :
Многочлен Тейлора в этом случае оказывается многочленом второй степени относительно переменных
.
