‹-- Назад
Свойства несобственных интегралов второго рода
Свойства несобственных интегралов второго рода, по сути дела, повторяют свойства несобственных интегралов первого рода: меняется лишь база предела, задающего несобственный интеграл, с 
для интеграла
для интеграла от функции с особенностью в точке 
:
Итак, приводим одно из свойств с доказательством.
и функция 
интегрируема на любом отрезке 
, где 
, и имеет особенность в точке . Тогда если несобственный интеграл 
сходится, то при любом 
сходится интеграл 
. Обратно, если при некотором сходится интеграл , то сходится и интеграл . Доказательство. Докажем, что из сходимости следует сходимость при . Из аддитивности интеграла следует, что при любом имеет место равенство
Переходя в этом равенстве к пределу при
, получаем:  |
причём несобственный интеграл в правой части сходится по условию теоремы, а интеграл
-- постоянное слагаемое. Значит, предел, задающий интеграл , существует и равен 
. Докажем второе утверждение теоремы, используя формулу (4.4*). По условию теоремы интеграл по отрезку 
, не содержащему особенностей функции, существует, так что при любом 
из формулы (4.4*) получаем:
 |
Перейдём к пределу при
и получим, что  |
Дальнейшие свойства мы приводим без доказательства.
и 
, заданные на 
и имеющие особенность в точке , причём при всех 
выполняется неравенство
а из расходимости интеграла от меньшей функции, следует расходимость интеграла от большей функции:
в условии теоремы 4.6 достаточно не для всех , а начиная лишь с некоторого 
, и заключение теоремы останется верным (за исключением выполнения неравенства (4.5)). Теорему 4.6 можно использовать для исследования сходимости интегралов, не вычисляя их значений. Для доказательства сходимости интеграла от функции 
достаточно найти более простую функцию 
, для которой интеграл 
легко вычисляется и даёт конечное значение. Согласно теореме 4.6, исходный интеграл тогда тоже сходится.
Если же нам нужно доказать расходимость интеграла 
, то достаточно найти такую функцию 
, что 
и расходимость интеграла 
легко проверяется.
Для многих примеров при доказательстве сходимости или расходимости интеграла естественно сравнивать подынтегральную функцию с функцией 
или 
(см. выше их определение и исследование сходимости задающих их интегралов).
, из-за которой рассматриваемый интеграл является несобственным. При значениях 
, близких к 0 (которые, вследствие замечания 4.7, только и важны для сходимости интеграла), 
, так что подынтегральная функция 
ведёт себя при 
так же, как 
, причём очевидно, что обе функции на промежутке 
положительны. Интеграл от функции расходится, поскольку 
. Это показывает нам, что для исходного интеграла 
нужно доказывать расходимость. Однако для функции не выполнено неравенство 
, поскольку знаменатель дроби , то есть 
, больше знаменателя дроби , равного , если 
. Поэтому вместо функции рассмотрим другую функцию, 
; для неё интеграл, очевидно, также получается расходящимся:
выполнено неравенство 
, то 
и 
. Поскольку интеграл от меньшей функции расходится, то расходится и исходный интеграл. от большей функции.
имеет особенность в точке . Если интеграл
обладает теми же свойствами, что в предыдущей теореме. Если несобственный интеграл 
сходится, то несобственный интеграл 
называется абсолютно сходящимся.
Если несобственный интеграл расходится, а несобственный интеграл сходится, а несобственный интеграл называется условно сходящимся.
Предыдущая теорема означает, что любой абсолютно сходящийся интеграл является сходящимся.
, имеющей особенность в точке 
и интегрируемой на любом отрезке , где , существует мажоранта на , причём несобственный интеграл 
сходится. Тогда несобственный интеграл 
тоже сходится, и 
.
-- произвольное число. Функция 
, очевидно, служит мажорантой для функции 
на 
, так как 
. Поскольку интеграл от мажоранты
(вычислите значение этого интеграла), то исходный интеграл
служит мажорантой для подынтегральной функции 
на , но поскольку интеграл от мажоранты 
расходится, так как показатель 
, то относительно сходимости или расходимости исходного интеграла отсюда ничего не следует (однако наводит нас на мысль, что, по-видимому, нужно доказывать расходимость исходного интеграла). Найдём другую функцию 
, которая была бы меньше подынтегральной, неотрицательна и давала бы расходящийся интеграл. Поскольку при имеет место неравенство
то возьмём в качестве функции
такую:
. Значит, исходный интеграл (от большей функции) также расходится. Заметим, что для некоторых несобственных интегралов удобно подобранная замена переменного превращает их в обычные, собственные интегралы.
. Тогда для нового переменного получим собственный интеграл:
В некоторых случаях свести несобственный интеграл к собственному удаётся и другими приёмами. В примере, разобранном только что, мы могли бы проинтегрировать по частям и тоже получить в правой части собственный интеграл:
 | |
 |
Функция
уже не имеет особенностей на отрезке интегрирования.
