‹-- Назад
Эллипсоид
где
, 
, 
-- положительные числа. Исследуем форму эллипсоида. Из уравнения (13.3) видно, что координаты точек поверхности ограничены: 
, 
, 
.
Эллипсоид обладает тремя плоскостями симметрии, тремя осями симметрии и центром симметрии. Ими служат соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат. Доказывается это так же, как в предложении 12.1.
Для выяснения формы эллипсоида рассмотрим его сечения плоскостями. Найдем линию пересечения эллипсоида с плоскостью 
. Так как любая точка плоскости имеет нулевую третью координату, 
, то координаты точек эллипсоида на плоскости удовлетворяют уравнению
По теореме 12.2 получаем, что линия пересечения является эллипсом с полуосями
и (рис. 13.3).
Аналогично, сечение в плоскости 
дает эллипс
и , а сечение плоскостью 
-- эллипс
и (рис. 13.4)
Нарисованный "каркас" из сечений уже дает представление об эллипсоиде. Но чтобы выяснить, как ведет себя поверхность между нарисованными кривыми, рассмотрим сечение эллипсоида плоскостью 
. Эта плоскость параллельна плоскости и пересекает ось 
в точке 
. Уравнения этой линии
, то ни одна точка пространства не может удовлетворять этой системе: в левой части первого уравнения стоит неотрицательное число, а в правой -- отрицательное. Если 
, то сечении получим лишь одну точку 
или 
в зависимости от знака .
Пусть 
. Тогда первое уравнение преобразуем к виду
где
, 
. Уравнение (13.5) является уравнением эллипса, подобного эллипсу, задаваемому уравнением (13.4), с коэффициентом подобия 
и полуосями 
и 
. Ясно, что сечение плоскостью 
является таким же эллипсом, расположенным симметрично первому относительно плоскости . Нарисуем эти сечения (рис. 13.5).
Таким образом, весь эллипсоид составлен из эллипсов, лежащих в плоскостях, параллельных плоскости и подобных эллипсу в плоскости . Рисунок 13.6 дает более привычное глазу изображение эллипсоида.
Так же, как для эллипса, точки пересечения эллипсоида с координатными осями называются вершинами эллипсоида, центр симметрии -- центром эллипсоида. Числа , , называются полуосями. Если полуоси попарно различны, то эллипсоид называется трехосным.
Если две полуоси равны друг другу, то эллипсоид называется эллипсоидом вращения. Эллипсоид вращения может быть получен вращением эллипса вокруг одной из осей. Например, если 
, то все сечения эллипсоида плоскостями , , будут окружностями. Сам эллипсоид может быть получен из эллипса
, при вращении его вокруг оси (рис. 13.7).
