mathserfer.narod.ru

Теория по высшей математике

Метод хорд (метод линейной интерполяции)

Метод простых итераций во всех рассмотреннных вариантах использует для построения очередного приближения только информацию о функции в одной лишь точке ; при этом никак не используются предыдущие значения Однако эту предыдущую информацию также можно использовать при нахождении . В качестве примера такого метода мы приведём метод, основанный на нахождении по двум предыдущим приближениям и с помощью линейной интерполяции, называемый методом хорд.

Идея метода состоит в том, что по двум точкам и построить прямую (то есть хорду, соединяющую две точки графика ) и взять в качестве следующего приближения абсциссу точки пересечения этой прямой с осью . Иными словами, приближённо заменить на этом шаге функцию её линейной интерполяцией, найденной по двум значениям : и . (Линейной интерполяцией функции назовём такую линейную функцию , значения которой совпадают со значениями в двух фиксированных точках, в данном случае -- в точках и .)

В зависимости от того, лежат ли точки и по разные стороны от корня или же по одну и ту же сторону, получаем такие чертежи:

Итак, очередное последовательное приближение будет зависеть от двух предыдущих: . Найдём выражение для функции .

Интерполяционную линейную функцию будем искать как функцию с угловым коэффициентом, равным разностному отношению

(9.3)

Заметим, что величина может рассматриваться как разностное приближение для производной в точке . Тем самым полученная формула (9.3) -- это разностный аналог итерационной формулы метода Ньютона.

Вычисление по формуле (9.3) гораздо предпочтительнее вычисления по другой полученной нами формуле

Имеются две разновидности применения формулы (9.3).

Первая разновидность: вычисления ведутся непосредственно по формуле (9.3) при , начиная с двух приближений и , взятых, по возможности, поближе к корню . При этом не предполагается, что лежит между и (и что значения функции в точках и имеют разные знаки). При этом не гарантируется, что корень попадёт на отрезок между и на каком-либо следующем шаге (хотя это и не исключено). В таком случае затруднительно дать оценку погрешности, с которой приближает истинное значение корня , и поэтому довольствуются таким эмпирическим правилом: вычисления прекращают, когда будет выполнено неравенство , где  -- желаемая точность нахождения корня. При этом полагают приближённое значение корня равным .

        Пример 9.8   Решим уравнение методом хорд. Зададимся точностью и возьмём в качестве начальных приближений и концы отрезка, на котором отделён корень: . Итерационная формула метода хорд при имеет вид

По этой формуле последовательно получаем:

Седьмое приближение уже дало нам значение корня с нужной точностью; восьмая итерация понадобилась для того, чтобы убедиться: с заданной точностью значение перестало изменяться. Получаем, что .     

        Упражнение 9.3   Проведите вычисления тем же методом, переставив местами начальные приближения и , то есть взяв . Убедитесь, что получаются другие значения для и что с точностью уже равняется искомому корню.     

        Пример 9.9   Проверим, что метод работает и в том случае, если и взяты по одну и ту же сторону от корня (то есть если корень не отделён на отрезке между начальными приближениями). Возьмём всё для того же уравнения и . Тогда

Мы получили то же значение , причём за то же число итераций. Может показаться, что было бы выгоднее расположить начальные приближения иначе, так чтобы было ближе к корню, чем . Однако при этом получаем фактически ту же скорость сходимости, можно заметить лишь небольшое ускорение:

Понадобились всё те же семь вычислений.     

Вторая разновидность применения формулы (9.3) называется методом ложного положения. Предположим, что корень отделён на отрезке между и , то есть значения и  -- разных знаков. После вычисления по формуле (9.3) на очередном, -м, этапе из двух отрезков: между и и между и  -- выбирают тот, в концах которого функция принимает значения разных знаков. Если это отрезок между и , то производят перенумерацию предыдущих приближений, то есть полагают равным , а затем повторяют вычисления по формуле (9.3). Этим достигается, что при любом корень располагается на отрезке между и , так что при выполнении условия , где  -- желаемая точность нахождения корня, вычисления можно прекратить и взять приближённое значение корня равным . При этом гарантируется, что будет выполнено неравенство , то есть корень будет определён с нужной точностью.

Такое усложнение алгоритма не даёт, на самом деле, сколько-нибудь заметного преимущества. Проиллюстрируем это на примере.

        Пример 9.10   В ситуации примера 9.8 применим метод ложного положения. Тогда последовательные приближения будут такими:

Как мы видим, отличаются от вычислений в примере 9.8 только приближения . (Заметим, что если бы в примере 9.8 мы взяли , см. упражнение 9.3, то вдобавок совпали бы значения .)