‹-- Назад
Несобственные интегралы первого рода
задана на бесконечном промежутке вида 
и интегрируема на любом конечном отрезке 
, где 
. Таким образом, мы можем рассмотреть функцию
то число 
называется значением несобственного интеграла первого рода
называется сходящимся (иными словами, интеграл сходится). Если же предела 
не существует (например, если 
при 
), то интеграл называется расходящимся (то есть расходится) и не имеет никакого числового значения.
Геометрически, в случае 
, величина несобственного интеграла 
означает, по определению, площадь бесконечно длинной области 
, лежащей в координатной плоскости между лучом 
на оси 
, графиком 
и вертикальным отрезком 
(см. рис.).
Сходящиеся интегралы соответствуют таким областям , площадь которых конечна (хотя сама область неограничена), а расходящиеся (в случае 
) -- неограниченным областям с бесконечной площадью. В случае, когда при , часто пишут формально:
Само определение значения интеграла через предел интегралов по конечным, но увеличивающимся отрезкам означает исчерпание площади 
путем учёта все большей её части 
правый вертикальный отрезок, проведённый при 
, отодвигается всё дальше и дальше в бесконечность; в пределе будет учтена вся площадь под графиком (см. рис.).
Согласно определению, нам нужно вычислить значение функции
Итак,
) и
Заметим, что тем самым мы вычислили площадь бесконечно длинной области под графиком 
, лежащей над положительной полуосью (см. рис.).
Поскольку рассматриваемая функция
-- чётная, то её график симметричен относительно оси 
, так что площадь под графиком левее оси -- точно такая же, как и площадь правее оси , то есть тоже равна 
, а площадь под всем графиком (над всей осью ) естественно считать равной 
в функцию 
понимая как раз вычисление предела
Ниже мы часто будем прибегать к такой укороченной записи.
при . Значит, несобственный интеграл 
расходится и, следовательно, не имеет никакого числового значения. 
Геометрически это означает, что площадь под графиком
, лежащая от 1 до , бесконечно велика (несмотря, заметим, на то, что функция 
убывает и стремится к 0 при 
; однако это стремление к 0 недостаточно быстрое для того, чтобы интеграл сходился). На рисунке (см. выше) мы пометили это обстоятельство условной записью 
. Аналогично случаю интегрирования по промежутку , уходящему в , рассматривается и случай, когда область интегрирования простирается в 
. Дадим в этом случае такое определение:
задана на бесконечном промежутке вида 
и интегрируема на любом конечном отрезке , где 
. Таким образом, мы можем рассмотреть функцию
называется значением несобственного интеграла первого рода
называется сходящимся (то есть сходится). Если же предела 
не существует, то интеграл называется расходящимся (то есть расходится) и не имеет никакого числового значения. Геометрически, в случае неотрицательной подынтегральной функции , вычисление несобственного интеграла означает нахождение площади бесконечно длинной области , лежащей между осью и графиком , левее вертикальной линии . Условие 
означает, что мы исчерпываем всю площадь, отодвигая всё левее, "в минус бесконечность", линию 
, временно ограничивающую рассматриваемую часть области справа (см. рис.).
В интегралах
и знаки и называют несобственными концами промежутка интегрирования, или несобственными пределами интегрирования. Данные нами определения означают, что при вычислении несобственных интегралов первого рода нужно "обрезать" несобственный предел некоторым конечным значением (
или 
), вычислить определённый интеграл по получившемуся конечному промежутку , а затем устремить в бесконечность конечный предел или . Очевидно, что при изменении направления на оси , то есть при замене 
, интеграл 
переходит в равный ему интеграл 
и, соответственно, после перехода к пределу, несобственный интеграл переходит в равный ему интеграл 
. Таким образом, все свойства интегралов по промежутку повторяют соответствующие свойства интегралов по промежутку , изучением которых можно и ограничиться. Так мы далее и поступим, не разбирая отдельно свойств интегралов вида .
Наконец, дадим определение интегралу от функции, заданной на всей числовой оси.
определена при всех 
и интегрируема на любом отрезке 
. Возьмём произвольное значение 
(например, 
) и будем считать по определению несобственный интеграл
и 
, то есть
считается сходящимся, а если хотя бы один из них расходится (при этом неважно, сходится или расходится другой), то и интеграл считается расходящимся (тогда он не имеет никакого числового значения). Заметим, что в точности в соответствии с этим определением мы поступили выше, когда определяли площадь области, расположенной под всем графиком функции 
; эта площадь оказалась равной числу 
.
Для корректности данного определения интеграла по всей оси нам следует доказать, что результат не зависит от выбора точки 
, то есть при выборе двух разных точек и 
определение даёт одно и то же, поскольку
Действительно, пусть
. Тогда, при любых конечных 
и 
мы, согласно аддитивности определённого интеграла, имеем:
, а потом при , получаем доказываемую формулу (4.1).
В дальнейшем для облегчения записи того, сходится или расходится несобственный интеграл, мы будем использовать следующие обозначения. Тот факт, что интеграл сходится, будем записывать в виде такого неравенства:
не стремится к 
при ). Особенно часто такие обозначения применяются в случае, когда при всех 
; тогда "равенство" 
отвечает тому факту, что соответствующая область под графиком функции имеет бесконечную площадь. Аналогичные обозначения мы будем применять и для интегралов по промежуткам вида и по всей оси, а также, в дальнейшем, и для несобственных интегралов второго рода (от неограниченных функций).
