‹-- Назад
Квадратурная формула трапеций
Пусть снова взято разбиение отрезка 
на части 
, 
. Приближённо заменим площадь под графиком 
, лежащую над промежутком разбиения , на площадь трапеции, параллельными основаниями которой служат отрезки, задающие значения функции в концах промежутка, то есть 
и 
(см. рис.).
Тогда площадь такой трапеции равна, очевидно,
, получаем квадратурную формулу трапеций:
. Заметим, что при подсчёте площади каждой очередной трапеции достаточно вычислить значение функции 
лишь в одной новой точке -- в правом конце 
очередного промежутка , поскольку точка 
была правым концом предыдущего отрезка и значение в этой точке уже было вычислено при нахождении площади предыдущей трапеции.
Если все отрезки разбиения выбираются одинаковой длины 
, то формула трапеций приобретает вид
, кроме 
и 
, встречаются в этой формуле по два раза. Поэтому, объединяя равные слагаемые, мы можем записать формулу трапеций в виде
, 
. Пусть функция 
имеет вторую производную 
, сохраняющую знак на интервале 
. Как легко видно из предыдущего рисунка, характер ошибки 
этой квадратурной формулы таков: если 
, то есть если график является выпуклым кверху, то 
и, значит, 
; если же 
и график имеет выпуклость книзу, то 
и 
.
Если сравнить это с изученными выше значениями ошибки 
формулы центральных прямоугольников, то мы видим, что для функций, вторая производная которых сохраняет знак на отрезке интегрирования, знаки ошибок 
и противоположны. Возникает желание соединить формулу трапеций и формулу центральных прямоугольников так, чтобы эти ошибки по возможности скомпенсировались. Для того, чтобы понять, какую комбинацию формул следует брать, нам нужно выяснить, какую величину имеют эти ошибки и в зависимости от выбора шага 
. Эти оценки ошибок имеют и самостоятельное значение, поскольку позволяют узнать точность полученного при применении соответствующей квадратурной формулы приближённого значения интеграла.
