‹-- Назад

Приближённое вычисление определённых интегралов

Рассмотрим задачу о приближённом нахождении значения определённого интеграла

$\displaystyle I=\int_a^bf(x)\;dx.$

Относительно подынтегральной функции $ f(x)$ мы будем предполагать, что она непрерывна на отрезке интегрирования, а также, когда это понадобится, что она имеет на этом отрезке производные до некоторого порядка.

Вычислять значение интеграла $ I$ мы будем по значениям функции $ f(x)$ в некоторых точках отрезка $ x_i$ . Эти значения $ y_i=f(x_i)$ мы будем предполагать известными, то есть предполагать, что у нас есть некоторый эффективный способ вычисления значений функции с любой требуемой точностью. Формулы, позволяющие по известным значениям $ y_i$ приближённо определить значение $ I$ , называются квадратурными формулами.

Для наглядности мы будем прибегать к геометрической интерпретации смысла определённого интеграла, как площади некоторой криволинейной трапеции, в случае функции $ f(x)\geqslant 0$ . Следует, однако, иметь в виду, что квадратурные формулы, которые мы будем получать, имеют смысл для функций, принимающих значения произвольного знака.

При $ f(x)\geqslant 0$ вычислить интеграл $ I$ значит найти площадь под графиком $ y=f(x)$ , расположенную над отрезком $ [a;b]$ . Естественной идеей является следующее построение: разобьём отрезок на части точками деления $ x_1,\ x_2,\ \dots,\ x_{n-1}$ и положим $ x_0=a$ и $ x_n=b$ (см. определение значения определённого интеграла). Тогда разбиение отрезка $ [a;b]$ состоит из отрезков $ [x_{i-1};x_i]$ при $ i=1,\dots,n$ . Вместо площади под графиком, равной $ I$ , будем приближённо находить суммарную площадь узких полосок, лежащих над отрезками разбиения $ [x_{i-1};x_i]$ (см. рис.).

Рис.5.1.








Математика, вышка, высшая математика, математика онлайн, вышка онлайн, онлайн математика, онлайн решение математики, ход решения, процес решения, решение, задачи, задачи по математике, математические задачи, решение математики онлайн, решение математики online, online решение математики, решение высшей математики, решение высшей математики онлайн, матрицы, решение матриц онлайн, векторная алгебра онлайн, решение векторов онлайн, система линейных уравнений, метод Крамера, метод Гаусса, метод обратной матрицы, уравнения, системы уравнений, производные, пределы, интегралы, функция, неопределенный интеграл, определенный интеграл, решение интегралов, вычисление интегралов, решение производных, интегралы онлайн, производные онлайн, пределы онлайн, предел функции, предел последовательности, высшие производные, производная неявной функции

на главную
Hosted by uCoz