‹-- Назад
Разложение вектора по базису





Векторы d,f,g на рисунке 10.10 и являются линейными комбинациями векторов a,b,c:
,
,
,
.
Будем говорить, что вектор b раскладывается по векторам , если b является линейной комбинацией этих векторов.













Если вектор c не коллинеарен ни одному из векторов a и b, то проведем следующие построения. Передвинем векторы a,b и c параллельно самим себе так, чтобы их начала оказались в одной точке . По векторам a и b проведем прямые
и
соответственно. Через конец вектора c проведем прямые параллельно векторам a и b до пересечения с прямыми
и
(рис. 10.11).
Очевидно, что . Вектор
коллинеарен вектору a и в силу предложения 10.1
, где
-- число. По тем же причинам
. Следовательно,
, то есть вектор раскладывается по векторам a и b.




Если вектор d является компланарным с парой векторов a,c, парой b,c или парой a,c, то в силу предложения 10.2 вектор d раскладывается по векторам a,b,c, где в соответствующей линейной комбинации один из коэффициентов окажется нулевым.
В общем случае выполним следующие построения. Передвинем векторы a,b,c,d параллельно самим себе так, чтобы их начала оказались в одной точке . Через пару векторов a,b проведем плоскость
, через пару b,c -- плоскость
,через пару a,c --
. Через конец вектора d проведем плоскости
параллельно плоскостям
соответственно. Эти шесть плоскостей ограничивают параллелепипед, диагональю которого служит вектор d (рис. 10.12).
Очевидно, что ,
. Следовательно,
. В силу предложения 10.1
,
,
. Поэтому
, то есть d раскладывается по векторам a,b,c.
В соответствии с предложением 10.3 и замечаниями 10.2, 10.3 к предложениям 10.1 и 10.2 можно сделать вывод, что в любом векторном пространстве любой размерности есть система векторов, по которой раскладывается каждый вектор пространства, причем единственным образом.

Очевидно, что в любом векторном пространстве можно выбрать бесконечно много базисов, число векторов в каждом из них равно размерности пространства.
Слова "упорядоченная система векторов" означают, что указан порядок перечисления векторов.

Для указания, что вектор a имеет координаты , мы будем использовать запись
.
Очевидно, что в фиксированном базисе каждый вектор имеет свой, единственный, набор координат. Если же взять другой базис, то координаты вектора в общем случае изменятся.
Сложение векторов и умножение их на число связаны с аналогичными действиями с их координатами. Доказательство соответствующих предложений для простоты записи проведем для случая двумерного пространства. Читатель без труда повторит их для пространства любой размерности.















Упражнение10.3.1. Докажите, что все координаты нулевого вектора в любом базисе равны нулю.
Упражнение10.3.2. Докажите, что базисный вектор с номером имеет координату с номером
, равную 1, а все остальные координаты -- нулевые.
Упражнение10.3.3. Докажите, что координаты разности векторов равны разностям координат.
Рассмотрим пример на нахождение координат вектора.
Задача. Даны векторы ,
. Вектор
-- медиана треугольника
. Найдите координаты вектора a в базисе b, c.
Решение. Сначала рассмотрим геометрическое решение (рис. 10.13).
Проведем через конец вектора a прямую параллельно вектору b до пересечения с продолжением вектора c. Получим точку пересечения . Легко видеть, что
,
. Проведем через точку
прямую параллельно вектору c до пересечения с продолжением вектора b. Получим точку
. Очевидно, что
, то есть
. Таким образом,
. Получим
.
Аналитическое решение. Получим какое-нибудь уравнение, связывающее векторы a, b, c. Для этого достроим треугольник до параллелограмма (рис. 10.14).
Тогда ,
. Получим равенство
. Откуда
, то есть
.
Ответ: .